تبلیغات
ریاضی


Admin Logo
themebox Logo
نویسنده :آراد صارمی
تاریخ:چهارشنبه 17 اسفند 1390-09:01 ب.ظ

اعداد فیبوناتچی

فیبوناچی یا دنباله فیبوناچی


در ریاضیات سری فیبوناچی به دنباله‌ای از اعداد گفته می‌شود که بصورت زیر تعریف می‌شود:



غیر از دو عدد اول اعداد بعدی از جمع دو عدد قبلی خود بدست می‌آید. اولین اعداد این سری عبارت‌اند از:

۰, ۱, ۱, ۲, ۳, ۵, ۸, ۱۳, ۲۱, ۳۴, ۵۵, ۸۹, ۱۴۴, ۲۳۳, ۳۷۷, ۶۱۰, ۹۸۷, ۱۵۹۷, ۲۵۸۴, ۴۱۸۱, ۶۷۶۵, ۱۰۹۴۶ ,17711

این اعداد به نام لئوناردو فیبوناچی ریاضیدان ایتالیایی نام گذاری شده‌است.


دنباله فیبوناچی

در دوران حیات فیبوناچی مسابقات ریاضی در اروپا بسیار مرسوم بود در یکی از همین مسابقات که در سال ۱۲۲۵ در شهر پیزا توسط امپراتور فردریک دوم برگزار شده بود مسئله زیر مطرح شد:
«فرض کنیم خرگوش‌هایی وجود دارند که هر جفت (یک نر و یک ماده) از آنها که به سن ۱ ماهگی رسیده باشند به ازاء هر ماه که از زندگی‌شان سپری شود یک جفت خرگوش متولد می‌کنند که آنها هم از همین قاعده پیروی می‌کنند حال اگر فرض کنیم این خرگوشها هرگز نمی‌میرند و در آغاز یک جفت از این نوع خرگوش در اختیار داشته باشیم که به تازگی متولد شده‌اند حساب کنید پس از n ماه چند جفت از این نوع خرگوش خواهیم داشت.»
فرض کنیم xn تعداد جفت خرگوش پس از n ماه باشد، میدانیم که x۲=۱,x۱=۱، تعداد جفت خرگوشها در ماه n+۱ ام برابر خواهد بود با حاصلجمع تعداد جفت خرگوشهایی که در این ماه متولد می‌شوند با تعداد جفت خرگوشهای موجود(xn).اما چون هر جفت خرگوش که از دو ماه قبل موجود بوده هم اکنون حداقل دوماه سن خواهند داشت و به سن زادو ولد رسیده‌اند تعداد جفت خرگوشهای متولد شده برابر خواهد بود با xn-۱، پس خواهیم داشت:
x۱ = ۱ , x۲ = ۱ , xn + ۱ = xn + xn - ۱
که اگر از قواعد مذکور پیروی کنیم به دنباله زیر خواهیم رسید که به دنباله فیبوناچی مشهور است.
۱, ۱, ۲, ۳, ۵, ۸, ۱۳, ۲۱, ۳۴, ۵۵, ۸۹, ۱۴۴, ۲۳۳, ۳۷۷, ۶۱۰, ۹۸۷, ۱۵۹۷, ۲۵۸۴,…
فیبوناچی با حل این مسئله از راه حل فوق دنباله حاصل را به جهان ریاضیات معرفی کرد که خواص شگفت‌انگیز و کاربردهای فراوان آن تا به امروز نه تنها نظر ریاضی‌دانان بلکه دانشمندان بسیاری از رشته‌های دیگر را به خود جلب کرده.
رابطهٔ دنبالهٔ فیبوناچی به این شکل است:



برای مثال برای به دست آوردن جملهٔ دهم باید جملهٔ نهم (۳۴) و جملهٔ هشتم (۲۱) را با هم جمع کنیم که برابر ۵۵ می‌شود.


جمله عمومی دنباله فیبوناچی

چند فرمول برای احتساب جملهٔ nام دنبالهٔ فیبوناچی، بدون استفاده از جملات ماقبل وجود دارد.

  یکی از این فرمول هاست.

  (فی) همان عدد طلایی است که برابر با : می‌باشد.

ارتباط عدد طلایی با دنباله فیبوناچی

روشهای متفاوتی برای بیان رابطه بین عدد طلایی و دنباله فیبوناچی وجود دارد که ما در اینجا به دو نمونه بسنده می‌کنیم.
[ویرایش]نسبت دو عضو متوالی دنباله
اولین مطلبی که در زمینه ارتباط با دنباله فیبوناچی قابل ذکر است به این قرار است: دنباله را بار دیگر در نظر می‌بینیم:
۱۰-------۹--------۸--------۷---------۶-------۵-------۴-------۳-------۲-------۱-------شماره جمله
۵۵------۳۴------۲۱-------۱۳-------۸-------۵-------۳-------۲-------۱-------۱-------مقدار جمله
نسبت جمله دوم به اول برابر است با ۱
نسبت جمله سوم به دوم برابر است با ۲
نسبت جمله چهارم به سوم برابر است با ۱٫۵
نسبت جمله پنجم به چهارم برابر است با ۱٫۶۶
نسبت جمله ششم به پنجم برابر است با ۱٫۶
نسبت جمله هفتم به ششم برابر است با ۱٫۶۲۵
نسبت جمله هشتم به هفتم برابر است با ۱٫۶۱۵
نسبت جمله نهم به هشتم برابر است با ۱٫۶۱۹
نسبت جمله دهم به نهم برابر است با ۱٫۶۱۷
به نظر می‌رسد که این رشته به عدد طلایی نزدیک می‌شود. اگر نسبت عدد چهلم این رشته را به عدد قبلی حساب کنیم به عدد ۱٫۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷۴۹۸۹۵ می‌رسیم که با تقریب ۱۴ رقم اعشار نسبت طلایی را نشان می‌دهد. نسبت جملات متوالی به عدد طلایی میل می‌کند.
معادله خط
معادلهٔ خطی به صورت y=mx در نظر می‌گیریم. m به معنی شیب خط است و یک عدد حقیقی است. می‌دانیم اگر m گنگ باشد، خط y=mx از هیچ نقطه‌ای با مختصات صحیح عبور نخواهد کرد. در واقع این خط امکان ندارد از نقطهای (جز مبدأ) عبور کند که هم x و هم y آن عدد صحیح باشند. حال به جای m قرار می‌دهیمφ. یعنی خط y=φx را در نظر می‌گیریم. چون φ هم یک عدد گنگ است، این خط از هیچ نقطه‌ای با x و y صحیح (جز مبدأ) عبور نخواهد کرد. به همین دلیل نقطه‌هایی را با x و y صحیح در نظر می‌گیریم که کمترین فاصله را از این خط دارند. ابتدا به نظر می‌رسد نقطهٔ (۱، ۱) کمترین فاصله را با این خط دارد. ولی فاصلهٔ نقطهٔ (۲، ۱) از این خط کمتر است. نقطهٔ (۳، ۲) فاصلهٔ کمتری با این خط دارد. همچنین فاصلهٔ نقطهٔ (۵، ۳) از این هم کمتر است. این نقاط به همین ترتیب ادامه خواهند یافت و در زیر چند نقطهٔ بعدی را که فاصله شان از این خط کمتر می‌شود را می‌بینید:...،(۵۵، ۳۴)، (۳۴، ۲۱)، (۲۱، ۱۳)، (۱۳، ۸)، (۸، ۵)، (۵، ۳)، (۳، ۲)، (۲، ۱)، (۱، ۱)
صحت مطالب فوق به راحتی قابل بررسی است. با کمی دقت در مختصات این نقاط درخواهیم یافت که این مختصات از الگوی دنباله فیبوناچی پیروی می‌کنند. این نقاط را نقاط فیبوناچی می‌نامند.





داغ کن - کلوب دات کام
نظرات() 

نویسنده :آراد صارمی
تاریخ:سه شنبه 16 اسفند 1390-10:01 ب.ظ

عجایب عدد 7


عجایب عدد 7 

  الف) مقدمه:

عدد هفت عددی است که شاید مثل همه ی عدد های دیگر در نظر ما عادی جلوه کند اما نگرش ما وقتی متبلور می شود که خواص عدد هفت را بدانیم و ببینیم چه «هفت» هایی در زندگی ما وجود دارند و ما در گیر و دار زندگی ماشینی و با بی تفاوتی از کنار آن ها رد می شویم مثلا شاید جالب باشد که بدانیم، رنگین کمان دارای هفت رنگ است .عجایب جهان، هفت تا هستند.(که به عجایب هفت گانه معروفند ) یا در یونان باستان، اسطوره ای با نام هفت خدای، در ذهن مردم نقش بسته است، ویا شهر عشق، که دراشعار عطار آمده است، هفت شهر می باشد، سوره ی مبارکه حمد، که اوّلین سوره ی قرآن کریم است، هفت آیه دارد. آسمان دارای هفت طبقه است. بهشت وجهنم هر کدام دارای هفت طبقه و درجه هستند و طواف خانه خدا هفت دور است، موسیقی ایران و یونان هفت دستگاه داد، هفت نوع ساز بادی وجود دارد و علاوه بر این هفت نت موسیقی وجود دارد(دو، ر، می، فا، سل، لا، سی) و…

ب) تاریخچه:
در سال ۱۸۸۹ میلادی کتابی ار یک جهان گرد منتشر شد که، از جمله روش شمردن را در میان قبیله ای از تورس شرح داده است. اینها برای شمردن تنها از دو واژه استفاده می کردند: یک و دو. برای عدد سه می گفتند «دو و یک » برای چهار «دو و دو»، برای پنج «دو و دو یک » و برای شش «دو و دو و دو» ولی برای عددهای بزرگ تر از ۶، هر قدر بود، می گفتند «خیلی ». گرچه این آگاهی مربوط به پایان سده ی نوزدهم است ولی می تواند گواهی بر شیوه ی شمردن در آغاز شکل گیری مفهوم عدد در میان انسان های نخستین باشد. بعد ها که برای عددهای بزرگتر هم نامی در نظر گرفتند به احتمالی برای عدد «هفت» از همان واژه ی قبلی «خیلی» یا «بسیار» استفاده کردند. عدد هفت که سده های متوالی برای آنها نا شناخته بود، اندک اندک به صورت عددی مقدس در آمد. وقتی که مصری ها، بابلی ها و دیگر امت ها توانستند پنج سیاره ی نزدیک تر به خورشید را بشناسند، با اضافه کردن ماه و خورشید، به عدد هفت رسیدند و این بر تقدس عدد ۷ افزود وقتی در قصه های کهن تر، که تا زمان ما هم ادامه پیدا کرده است، صحبت از شهری می شود که هفت برج و هفت بارو داشت، به معنای آن است که این شهر برج و باروهای بسیار داشت. هفت آسمان و هفت دریا و هفت کشور، به معنای آسمان ها و کشور ها و دریاهای بزرگ است نه هفت آسمان و هفت دریا (نه کم و نه زیاد ). هنوز در زبان فارسی اندرز می دهند « هفت بار گز کن یک بار پارچه کن ». این جمله به معنای آن نیست که برای دقت کار و کم کردن اشتباه در اندازه گیری یا هر کار دیگری باید درست ۷ بار آزمایش کرد، نه شش یا هشت بار. در اینجا هم هفت به معنی «بسیار» است. عدد۱۳ هم چنین سرنوشتی دارد….

ب) هفت و…
نزد بسیاری از اقوام عهد باستان «هفت» عدد ویژه ای بود. در فلسفه و نجوم مصریان و بابلی ها، عدد هفت به عنوان مجموع هر دو زندگی، سه و چهار، جایگاه ویژه ای داشت.(پدر و مادر و فرزند؛ یعنی سه انسان، پایه و اساس زندگی هستند و عدد چهار مجموع چهار جهت آسمان و باد است.)
ایرانیان قدیم در آیین زرتشت، اهورامزدا را مظهر پاکی میدانستند و برای او هفت صفت را بر می شمردند و در مقابل او اهریمن را پدید آورنده ی پلیدیها می دانستند و می گفتند در پیرامون اهورامزدا فرشتگانی هستند که مظاهر صفات حسنه هستند و برای احترام به آن ها که اول هرکدامشان سین بود هنگام سال تحویل سفره می گستراندند و هفت قسم خوراکی که نام هریک با سین شروع می شود: سیر، سرکه، سیب، سماق، سمنو، سنجد، سکه، و سبزی را سر سفره می گذاردند که به سفره ی هفت سین معروف بود.
برای فیلسوف و ریاضیدان یونانی«فیثاغورث» نیز عدد هفت، مفهموم ویژه ی خود را داشت که از مجموع دو عدد سه و چهار تشکیل می شود: مثلث و مربع نزد ریاضیدانان عهد باستان اشکال هندسی کامل محسوب می شدند، از این رو عدد هفت به عنوان مجموع سه و چهار برای آن ها عدد مقدسی بود. علاوه بر این در یونان هر هفت سیاره را خدایی میدانستند : سلن، هیلیوس،آرس،هرمس، زئوس، آفرودیت و کرونوس.
یهودیان قدیم نیز برای عدد هفت معنای ویژه ای قایل بودند. در کتاب اول عهد عتیق (تورات) آمده است که خداوند جهان را در شش روز خلق کرد، در روز هفتم خالق به استراحت پرداخت. موسی در ده فرمان خود از پیروانش می خواهد که این روز آرامش را مقدس بدارند(روز شنبه و روز تعطیل یهودیان). علاوه بر این در آن کتاب مقدس هفت با عنوان عدد تام و کامل نیز استعمال شده است. از آن زمان عدد هفت نزد یهودیان و بعد ها نیز نزد مسیحیان که عهد عتیق را قبول کردند، به عنوان عددی مقدس محسوب می شد.
به این ترتیب بود که از دوران باستان هفتگانه های بیشماری تشکیل شدند: یونانیان باستان همه ساله هفت تن از بهترین هنرپیشگان نقش های سنگین و غمناک و نقش های طنز و کمدی را انتخاب میکردند. آن ها مانند رومی های باستان به هفت هنر احترام میگذاشتند. روم بر روی هفت تپه بنا شده بود. در تعلیمات کلیسای کاتولیک هفت گناه کبیره(غرور، آزمندی، بی عفتی، حسد، افراط، خشم و کاهلی) و هفت پیمان مقدس(غسل تعمید، تسلیم و تصدیق، تقدیس و بلوغ، ازدواج، استغفار و توبه، غسل قبل از مرگ با روغن مقدس، در آمدن به لباس روحانیون مسیحی) وجود دارد. برای پیروان محمد(ص) آخرین مکان عروج، آسمان هفتم محسوب می شود. در بیست و هفتم ژوئن هر سال، روز «هفت انسان خوابیده » مسیحیان یاد آن هفت برادری را که در سال ۲۵۱ بعد از میلاد، برای عقیده و ایمان خود، زنده زنده لای دیوار نهاده شده و شهید شدند، گرامی می دارند؛ مردم عامه می گویند که اگر در این روز باران ببارد، به مدت هفت هفته بعد از آن هوا بد خواهد بود، آن گاه انسان باید هفت وسیله ی مورد نیازش را بسته بندی کند و با چکمه های هفت فرسخی خود به آن دورها سفر کند. صور فلکی خوشه ی پروین یا ثریا به عنوان «هفت ستاره» معروف است، در حالی که حتی با چشم های غیر مسلح میتوان در این صورت فلکی تا یازده ستاره را دید.

عرفای بزرگ عشق و وصال را در هفت مرحله و هفت وادی نشان داده اند و فاصله ی بین هستی و تباهی را پنچ مرحله دانسته اند.

در افسانه ها نیز با هفت سحر آمیز برخورد می کنیم: سوار ریش آبی هفت همسر داشت، سفید برفی با هفت کوتوله پشت هفت کوه زندگی می گرد و افسانه ی اژدهای هفت سر…
علاوه بر این می توان به هقت اقلیم، هفت اورنگ، هفت دفتر شاهنامه، هفت پیکر، هفت هیکل، هفت گناه کبیره، هفت خان رستم، هفت الوان، هفت گنج، هفت رکن نماز،هفت تحلیل و هفت طواف (در اعمال حج)، هفت قبله(مکه، مدینه،نجف،کربلا،کاظمین،سا مرا،مشهد) و… اشاره کرد و به این ترتیب بود که تعداد بیشماری هفتگانه در دنیا بوجود آمد و به عدد هفت تقدس خاصی بخشید.




داغ کن - کلوب دات کام
نظرات() 

نویسنده :آراد صارمی
تاریخ:سه شنبه 16 اسفند 1390-10:00 ب.ظ

عدد شیطان

عدد شیطان

 عدد اسرا آمیز 666 به « عدد شیطان » (The number of the beast) یا « نشان شیطان » (sign of the beast) معروف است. این عدد به کتب ضدمسیح (Antichrist) تعلق دارد و همچنین در کتاب مقدس مکاشف یوحنا (Revelation) در بخش 13 و شعر 18 با عنوان « کامل بودن » (to be exact) این عدد ذکر شده است که متن آن چنین است:

Here is wisdom. Let him that hath understanding count the number of the beast: for it is the number of a man; and his number is 666


« در اینجا خرد هست. بگذار آنکه فهمی دارد عدد شیطان را بشمارد زیرا آن عدد مردی است و عدد او 666 است. »

البته منبع پیدایش این عدد به این عنوان کاملاً مشخص نمی‌باشد. در مورد این عدد فیلم‌ها و داستان‌های مختلفی ساخته شده اند که اغلب آنها از سری فیلم‌ها و داستان‌های ترسناک هستند، از جمله فیلم Pulp Fiction و یا داستان The Da Vinci Code(رمز داوینچی). در این داستان این حدس وجود دارد که هرم شیشه ای موجود در موزه لور(Louvre) پاریس، به شیطان اختصاص دارد و از 666 قطعه شیشه ساخته شده است. البته تحقیقات در این زمینه بدون هیچ ابهامی مشخص می‌کند که این هرم شیشه‌ای از بیش از 670 قطعه شیشه تشکیل شده است.(اظهار رسمی موزه لور 673 قطعه است و شمارش‌های انجام شده بعدی حاکی است که این تعداد 698 عدد است.)
همچنین عدد 666 را می‌توان به نوعی در اسامی‌ نیز پیدا کردو. مثلاً مجموع کد اسکی (ASCII) کاراکترهای کلمه INDONESIA (اندونزی) برابر با 666 است.

صرف نظر از داستان‌ها و مطالب اسرار آمیزی که در مورد این عدد نوشته و گفته می‌شود، مطالعات ریاضیدانان در مورد این عدد نشان می‌دهد این عدد در حیطه ریاضی هم دارای خواص جالبی است که برای مطالعه در این زمینه به ویژگی‌های ریاضی عدد شیطان مراجعه کنید.





داغ کن - کلوب دات کام
نظرات() 

نویسنده :آراد صارمی
تاریخ:سه شنبه 16 اسفند 1390-09:53 ب.ظ

تاریخچه ریاضی

تاریخچه ریاضی

 از ریاضیدانان بزرگ اسلامی این دوره یكی خوارزمی می باشد كه در سال 820 به هنگام خلافت مأمون در بغداد كتاب مشهور الجبر و المقابله را نوشت. دیگر ابوالوفا (998-938) است كه جداول مثلثاتی ذیقیمتی پدید آورد و بالاخره محمد بن هیثم (1039-965) معروف به الحسن را باید نام برد كه صاحب تألیفات بسیاری در ریاضیات و نجوم است. قرون وسطی از قرن پنجم تا قرن دوازدهم یكی از دردناكترین ادوار تاریخی اروپاست. عامه مردم در منتهای فلاكت و بدبختی به سر می بردند. برجسته ترین نامهایی كه در این دوره ملاحظه می نماییم در مرحله اول لئونارد بوناكسی (1220-1170) ریاضیدان ایتالیایی است. دیگر نیكلاارسم فرانسوی می باشد كه باید او را پیش قدم هندسه تحلیلی دانست. در قرون پانزدهم و شانزدهم دانشمندان ایتالیایی و شاگردان آلمانی آنها در حساب عددی جبر و مكانیك ترقیات شایان نمودند. در اواخر قرن شانزدهم در فرانسه شخصی به نام فرانسوا ویت (1603-1540م) به پیشرفت علوم ریاضی خدمات ارزندهای نمود. وی یكی از واضعین بزرگ علم جبر و مقابله جدید و در عین حال هندسه دان قابلی بود. كوپرنیك (1543-1473) منجم بزرگ لهستانی در اواسط قرن شانزدهم دركتاب مشهور خود به نام درباره دوران اجسام آسمانی منظومه شمسی را این چنین ارائه داد:
1- مركز منظومه شمسی خورشید است نه زمین.
2- در حالیكه ماه به گرد زمین می چرخد سیارات دیگر همراه با خود زمین به گرد خورشید می چرخند.
3- زمین در هر 24 ساعت یكبار حول محور خود می چرخد، نه كره ستاره های ثابت.
پس از مرگ كوپرنیك مردی به نام تیكوبراهه در كشور دانمارك متولد شد. وی نشان داد كه حركت سیارات كاملاً با نمایش و تصویر دایره های هم مركز وفق نمی دهد. تجزیه و تحلیل نتایج نظریه تیكوبراهه به یوهان كپلر كه در سال آخر زندگی براهه دستیار وی بود محول گشت. پس از سالها كار وی به نخستین كشف مهم خود رسید و چنین یافت كه سیارات در حركت خود به گرد خورشید یك مدار كاملاً دایره شكل را نمی پیمایند بلكه همه آنها بر روی مدار بیضی شكل حركت می كنند كه خورشید نیز در یكی از دو كانون آنها قرار دارد. قرن هفدهم در تاریخ ریاضیات قرنی عجیب و معجزه آساست. از فعالترین دانشمندان این قرن كشیشی پاریسی به نام مارن مرسن كه می توان وی را گرانبها ترین قاصد علمی جهان دانست. در سال 1609 گالیله ریاضیات و نجوم را در دانشگاه پادوا در ایتالیا تدریس می كرد. وی یكی از واضعین مكتب تجربی است. وی قانون سقوط اجسام را به دست آورد و مفهوم شتاب را تعریف كرد. در همان اوقات كه گالیله نخستین دوربین نجومی خود را به سوی آسمان متوجه كرد در 31 مارس 1596 در تورن فرانسه رنه دكارت به دنیا آمد. نام ریاضیدان بزرگ سوئیسی «پوب گولدن» را نیز باید با نهایت افتخار ذكر كرد. شهرت وی بواسطه قضایای مربوط به اجسام دوار است كه نام او را دارا می باشد و در كتابی به نام مركزثقل ذكر شده. دیگر از دانشمندان برجسته قرن هفدهم پی یر دوفرما ریاضیدان بزرگ فرانسوی است كه یكی از برجسته ترین آثار او تئوری اعداد است كه وی كاملاً بوجود آورنده آن می باشد. ریاضیدان بزرگ دیگری كه در این قرن به خوبی درخشید ژیرارد زارك فرانسوی است كه بیشتر به واسطه كارهای درخشانش در هنر معماری شهرت یافت و بالاخره ریاضی دان دیگر فرانسوی یعنی روبروال كه بواسطه ترازوی مشهوری كه نام او را همراه دارد همه جا معروف است. در اواسط قرن هفدهم كم كم مقدمات اولیه آنالیز عناصر بی نهایت كوچك در تاریكی و ابهام به وجود آمد و رفته رفته سر و صدای آن به گوش مردم رسید. بدون شك پاسكال همراه با دكارت و فرما یكی از سه ریاضیدان بزرگ نیمه اول قرن هفدهم بود و نیز می توان ارزش او را در علم فیزیك برابر گالیله دانست. در نیمه دوم قرن هفدهم ریاضی بطور دقیق دنبال شد. سه نابغه فنا ناپذیر این دوره یعنی نیوتن انگلیسی، لایب نیتس آلمانی و هویگنس هلندی جهان علم را روشن كرده بودند. لایب نیتس در سال 1684 با انتشار مقاله ای درباره حساب عناصر بی نهایت كوچك انقلابی برپا كرد. هوگنس نیز در تكمیل دینامیك و مكانیك استدلالی با نیوتن همكاری كرد و عملیات مختلف آنها باعث شد كه ارزش واقعی حساب انتگرال در توسعه علوم دقیقه روشن شود. در قرن هجدهم دیگر تمام طوفانهای قرن هفدهم فرو نشست و تحولات این قرن عجیب به یك دوره آرامش مبدل گردید. دالامبر فرانسوی آنالیز ریاضی را در مكانیك به كار برد و از روشهای آن استفاده كرد. كلرو رقیب او در 18 سالگی كتابی به نام تفحصات درباره منحنی های دو انحنایی انتشار داد و در مدت شانزده سال رساله ای تهیه و به آكادمی علوم تقدیم نمود كه شامل مطالب قابل توجهی مخصوصاً در مورد مكانیك آسمانی و هندسه بی نهایت كوچكها بود. دیگر لئونارد اویلر ریاضیدان بزرگ سوئیسی است كه در 15 آوریل 1707 م. در شهر بال متولد شد و در 17 سپتامبر 1783 م. در روسیه درگذشت. لاگرانژ از جمله بزرگترین ریاضیدانان تمام ادوار تاریخ بشر است. مكانیك تحلیلی او كه در سال 1788 . عمومیت یافت بزرگترین شاهكار وی به شمار می رود. لاپلاس كه در تدریس ریاضی دانشسرای عالی پاریس معاون لاگرانژ بود كتابی تحت عنوان مكانیك آسمانی در پنج جلد انتشار داد. گاسپار مونژ این نابغه دانشمند وقتی كه هنوز بیست سال نداشت شاخه جدید علم هندسه به نام هندسه ترسیمی را بوجود آورد. ژان باتیست فوریه در مس
أله انتشار حرارت روش بدیع و جالبی اختراع كرد كه یكی از مهمترین مباحث آنالیز ریاضی گردید. از دیگر دانشمندان بزرگ این قرن سیمون دنی پوآسون (1840-1781) فرانسوی و شاگرد لاپلاس می باشد كه اكتشافات مهمی در ریاضیات نمود گائوس ریاضیدان شهیر آلمانی تئوری كامل مغناطیس را بوجود آورد. مطالعات او درباره انحناء و ترسیم نقشه ها و نمایش سطوح بر صفحات اصلی و اساسی می باشد. كوشی فرانسوی كه در سراسر نیمه اول قرن پانزدهم بر دیگر هموطنان برتری داشت با منطق دقیق خود تئوری های زیادی از حساب انتگرال را توسعه داد. آبل در سال 1824 ثابت نمود كه صرفنظر از معادلات درجه اول تا درجه چهارم هیچ دستور جبری كه بتواند معادله درجه پنجم را به نتیجه برساند وجود ندارد. گالوا كه در 26 اكتبر 1811 م. در پاریس متولد شد تئوری گروهها را كه قبلاً بوسیله كوشی و لاگرانژ مطالعه شده بود در معادلات جبری به كار برد و گروه جانشینی هر معادله را مشخص كرد. دیگر از دانشمندان بزرگ این قرن ژنرال پونسله فرانسوی می باشد كه آثاری همچون «موارد استعمال آنالیز در ریاضی» و «خواص تصویری اشكال» دارد همچنین لازار كانو فرانسوی كه اكتشافات هندسی او دارای اهمیت فوق العاده می باشد. میشل شال هندسه مطلق را با بالاترین درجه استادی به بالاترین حد ممكن ترقی داد. در نیمه اول قرن نوزدهم ریاضیدان روسی نیكلاس ایوانویچ لوباچوشكی نخستین كشف خود را درباره هندسه غیراقلیدسی به جامعه ریاضیات و فیزیك قازان تقدیم كرد. ادوارد كومرنیز در نتیجه اختراع نوعی از اعداد به نام اعداد ایده آل جایزه ریاضیات آكادمی علوم پاریس را از آن خود كرد. در اینجا ذكر نام دانشمندانی نظیر شارل وایرشتراس و شارل هرمیت كه در مورد توابع بیضوی كشفیات مهمی نمودند ضروری است. ژرژ كانتور ریاضیدان آلمانی مكه در روسیه تولد یافته بود در ربع آخر قرن نوزدهم با وضع فرضیه مجموعه ها اساس هندسه اقلیدسی را در هم كوفت. كانتور مجموعه را به دو صورت زیر تعریف كرد:
1- اجتماع اشیایی كه دارای صفت ممیزه مشترك باشند هر یك از آن اشیاء را عنصر مجموعه می گویند
.2- اجتماع اشیایی مشخص و متمایز
ولی ابتكاری و تصوری هنری پوانكاره یا غول فكر ریاضی آخرین دانشمند جهانی است كه به همه علوم واقف بود. وی در بیست و هفت سالگی بزرگترین اكتشاف خود یعنی توابع فوشین را به دنیای دانش تقدیم نمود. بعد از پوانكاره ریاضیدان سوئدی متیاگ لفلر كارهای او را ادامه داد و سپس ریاضیدان نامی فرانسوی امیل پیكارد در این راه قدم نهاد. در اواخر قرن نوزدهم علم فیزیك ریاضی به منتها درجه تكامل خود رسید و دانش نجوم مكانیك آسمانی تكمیل گردید. امروزه ریاضیات بیش از پیش در حریم سایر علوم نفوذ كرده و نه فقط علوم نجوم و فیزیك و شیمی تحت انضباط آن درآمده اند بلكه اصولاً ریاضیات دانش مطلق و روح علم شده است.




داغ کن - کلوب دات کام
نظرات() 

نویسنده :آراد صارمی
تاریخ:سه شنبه 16 اسفند 1390-09:51 ب.ظ

هندسه نااقلیدسی

هندسه نااقلیدسی

گئوس اولین شخصی بود که بطور کامل موفق به درک هندسه ی نااقلیدسی شد. یعنی همان چیزی که ارستو قرن ها قبل بوجود آمدن آن را پیش بینی کرده بود، ارستو مینویسد:« ذات مثلث نهفته در مجموع زاویه های آن است این مجموع میتواند برابر با دو زاویه ی قائمه، بزرگتر و یا کوچکتر از آن باشد. و این در واقع، به زبان امروزی، مرزی است که سه گونه هندسه یعنی «هندسه ی اقلیدسی»، «هندسه ی لباچفسکی» و «هندسه ی ریمانی» را از هم جدا می کند.
گئوس در نامه ای به یکی از دوستانش به نام فوکوش بویویی نوشت:«راه من، تو و امثال ما برای اثبات اصل توازی راهی بی پایان است و موفقیتی در این کار نصیبمان نخواهد شد، حتی مطالعات من باعث شک در مورد حقیقت خود هندسه شده است.»
در این زمان لباچفسکی شش ساله بود و فیلسوفانی مانند کانت اجتماع را تحت الشعاع خود قرار داده بودند. از طرفی گئوس نیز به دلیل موقعیت اجتماعی خود از رو دررویی با صاحب نظران اجتناب میکرد، ظاهرا او میترسید که مطالبش را نفهمند و انتقادش کنند. خود او میگوید:«از آن می ترسم که هرکس که نشان داده است فکر ریاضی باوری دارد، آن چه را که من میگویم بد بفهمد بلکه آن را مانند یک القای خصوصی در نظر میگیریم که به هیچ روی به اطلاع مردم نرسد و برای عموم منتشر نشود.» عده ای نیز علت چاپ نکردن آثارش را اولا عقاید ماتریالیستی اش و دیگری کج فهمی های روسیه ی تزاری میدانند. به هر حال تصور گئوس در مورد منتشر ساختن نتایج کارش سبب شد که سهمی از افتخاری که تمامش ممکن بود از آن او باشد نصیب دیگران شود.
گئوس هندسه ی جدیدی را که بدان پی برده بود هندسه ی نااقلیدسی نامید و در نامه ای به دوست ریاضیدانش تاور بنوس نوشت:«همه ی تلاش های من برای یافتن یک تناقض یا ناسازگاری از این هندسه ی نااقلیدسی به شگفت انجامیده است. من گاهی به شوخی آرزو می کنم که ای کاش هندسه ی اقلیدسی راست نبود، چون در آن صورت ما از پیش انگاره ی مطلقی برای اندازه گیری داشتیم.»
یانوش بویویی پسر فوکوش نیز برای اثبات اصل پنجم تلاش می کرد و پدرش همواره به او میگفت:«تو دیگر نباید برای گام نهادن در راه توازی ها تلاش کنی، من پیچ و خم های این راه را از اول تا به آخر میشناسم. این شب بی پایان همه ی روشنایی و شادمانی زندگی مرا به کام نابودی فروبرده است، التماس می کنم دانش موازی ها را رها کنی.» اما یانوش جوان از اخطار پدرش نهراسید چرا که اندیشه های دیگری را در این رابطه در ذهنش میپروراند. سال ها بعد در نامه ای به پدرش نوشت: « من چیزهای بسیار شگفت انگیزی کشف کرده ام که مرا متحیر ساخته است….من از هیچ دنیای عجیبی خلق کرده ام.» پدر یانوش او را به تسریع در اعلام کشفی که کرده بود وادار میکرد و به او میگفت:« به نظر من عاقلانه است که اگر تو به حل مساله ایی دست یافته ای در انتشار آن به دو دلیل شتاب کنی. نخست آنکه اندیشه هایت ممکن است به آسانی به دیگری القا شود و به انتشار آن دست بزند و دوم به دلیل این که بنظر می رسد که بسیاری چیزها در یک زمان، در چند جا با هم کشف شده اند.» عقیده ی پدر یانوش درست بود زیرا همین اتفاق نیز افتاد که تقریبا در یک زمان و مستقل از یکدیگر هندسه هایی که از جنبه منطقی سازگار بودند و در آن ها اصل پنجم انکار شده بود، بوسیله ی گائوس در آلمان، بویایی در مجارستان و لباچفسکی در روسیه کشف شد. بعد از اینکه پدر یانوش با خوشحالی برای گائوس نتایج کار پسرش را نوشت گائوس جواب نامه ی او را چنین آغاز کرد:«اگر با این عبارت آغاز کنم که یارای تمجید از چنین کاری را ندارم البته برای یک لحظه دچار شگفتی خواهید شد ولی کاری به جز این نمی توانم بکنم، تمجید از آن به منزله ی تمجید از خودم است.»
اما یانوش بویویی ۲۸ ساله نتیجه ی تحقیات خود را در همان سال ها در ضمیه ی ۲۶ صفحه ای کتاب تنتامن موسوم به Appendix چاپ کرد.
نیکلای لباچفسکی در همان زمان در دانشگاه غازان روسیه سخنرانی ایراد کرد، او معقد بود که اگر نتوانیم از سایر اصول هندسی اصل توازی را اثبات کنیم باید به فکر مجموعه اصول دیگری برای هندسه باشیم، اصولی که در دنیای واقعی حضور دارند
که ضمن آن شالوده ی هندسه ی هذلولی را ارایه نمود ولی متن سخنرانی دزدیده شد. او در ۱۸۲۹ محتوی کامل هندسه هذلولی را در نشریه دانشگاهی ای که به زبان روسی بود، نوشت که یازده سال بعد به آلمانی ترجمه شد.
لباچفسکی بیان کرد که از هر نقطه خارج یک خط می توان لااقل دو خط در همان صفحه و به موازات آن خط رسم کرد. او هندسه اش را در آغاز «هندسه ی انگاری» و سپس «هندسه ی عام» نام گذارد ما نیز امروزه به هندسه او هندسه ی هذلولی می گوییم. هر چند پس از فرض این هندسه بنظر می رسید که وی در ادامه به تناقض های بسیاری خواهد رسید اما توانست براساس همین فرض و مفروضات قبلی اقلیدس به مجموعه جدید از اصول هندسی برسد که حاوی هیچ گونه تناقضی نباشد. او پایه های هندسه ای را بنا نهاد که بعدها کمک بسیار زیادی به فیزیک و مکانیک غیر نیوتنی نمود.
لوباچفسکی علنا با تعلیمات و عقاید کانت درباره ی فضا به مثابه شهود ذهنی به مبارزه پرداخت. در واقع لباچفسکی با متزلزل ساختن «خلل پذیری» اصول اقلیدس ضربه ی سنگینی به فلسفهی کانت وارد ساخت. کانت معتقد بود که بررسی حقایق هندسه نتیجه ی تجربه ی انسان نیست بلکه اشکال ذاتی و غیر قابل تغییر شناخت انسانی هستند و برای این نظر خود از خلل پذیری اصول هندسه ی اقلیدسی بعنوان نقطه ی اتکای اساسی استفاده می کرد.
و بدین صورت بود که لباچفسکی و بویویی هر دو و بطور مستقل پایه گذار هندسه ی هذلولی شدند. هندسه ای که در آن نقیض اصل توازی را بجای اصل موضوع مفروض میگیریم. این امر هندسه ی حیرت انگیزی را منجر می شود که با هندسه ی اقلیدسی تفاوت اساسی دارد. به قول گائوس قضایای این هندسه به باطلنما می مانند و شاید در نظر فردی مبتدی بی معنی جلوه کنند، ولی تفکر پی گیر و آرام آشکار می سازد که هیچ چیز ناممکن در آن نیست.
کشف هندسه ی نااقلیدسی درک هندسه دان ها را به کلی دگرگون کرد همین حقیقت که هندسه ی نااقلیدسی کامل و بدون تناقض است، اعتماد چند صد ساله را نسبت به کلمات «واضح است»، «به نظر می رسد» را از بین برد، کلماتی که تکیه کلام های هندسه دان های قدیم بود. تحلیل اصل اقلیدس که قرن ها طول کشیده بود استحکام نتایج هندسه ی مقدماتی را به کلی متزلزل کرد، این تحلیل روشن کرد که بین آن حقایق هندسه که گمان میرفت ارتباطی با یکدیگر ندارند، چه ارتباط عمیقی وجود دارد. و در نتیجه روابط فضایی در جهان مادی به نحوی نمایان شد.
به این ترتیب، دستگاه اصول و تعاریف اقلیدس بعنوان پایه ای برای ساختمان هندسه غیر کافی بود. در دنیای افکار و ایده آل های جدید، دیگر این تعاریف و اصول مطلقا ناقص بودند و نمی توانسنتد پیشرفت های علوم دقیقه(فیزیک، نجوم و…) را تامین نمایند.




داغ کن - کلوب دات کام
نظرات() 

نویسنده :آراد صارمی
تاریخ:سه شنبه 16 اسفند 1390-09:32 ب.ظ

چرا عدد سیزده نحس است ؟

چرا عدد سیزده نحس است؟

هم اکنون بر اساس یک باور مردمی و عامیانه، عدد 13 نشانۀ نحسی و بد یُمنی شمرده می ‌شود. این امر هم در ایران و هم در کشورهای دیگر رایج است. در کشورهای خارجی، بسیار بیشتر از ایران 13 را نحس می دانند. به طوری که در هواپیماها، صندلی شمارۀ 12 و 14 وجود دارد و عدد 13 درکار نیست ( چون حتما ً کسی که روی صندلی 13 می نشسته، از هواپیما به پائین پرت شده است !!)...

البته حقیقت این است که، یک نحسی در مورد عدد 13 در مورد مسائل هوا - فضا اتفاق افتاده که چنین عملی را در هواپیماهای خارجی انجام می دهند. و آن هم سفینه ی " آپولو 13 " است. همانطور که می دانید، سفینۀ " آپولو 11 " اولین سفینه ای بود که به وسیله ی آن توانستند کره ی ماه را فتح کنند. و " نیل آرم استرانگ " اولین انسانی بود که پا بر خاک کرۀ ماه نهاد. این سفینه متعلق به سازمان فضائی آمریکا ( ناسا ) بوده که به منظور اهداف فضانوردی ساخته می شده است. که بعد از آن، سفینه ی " آپولو 13 " به دلیل نقص فنی خراب شد و نتوانست مأموریت خود را انجام دهد. و به دلیل همین نقص فنی، سفر خود را نیمه کاره گذاشت و به زمین بازگشت.

در باورهای مذهبی نیز، چون " دوازده امام " و " چهارده معصوم " وجود دارند، و هیچ چیزی نبوده تا عدد 13 به آن تعلق بگیرد، و اعداد قبل و بعد آن همه برای خود معنائی دارند، عدد 13 نحس شده است. البته روشنفکران بر این باورند که هیچ عددی نحس نیست و اینها تنها تفکرات مردم است که به دلیل اتفاقات خاصی که در تاریخ برای افراد یا اشیاء و مکان های مختلف افتاده است، باعث شده که تصور کنند 13 عدد نحسی است و باعث بدشانسی در زندگی می شود. امّا همانطور که می دانید، در آستانۀ نوروز و روز سیزده بدر ایرانی هستیم. که روز آشتی با طبیعت و شور و شادمانی ایرانیان در دامان طبیعت است. که مطابق این رسم کهن، ایرانیان هر ساله در این روز، سبزه هائی که از آغاز عید پرورش داده اند را به طبیعت می اندازند. و به همراه خانواده و دوستان و آشنایان به طبیعت و کوه و دشت ها و رودخانه ها و ... رفته و به خوشی و شادی می ‌پردازند. و سؤالی که پیش می آید این است که: اگر 13 عدد نحسی است، پس چرا روز 13 فروردین را به عنوان روز آشتی با طبیعت در نظر گرفته اند؟
جواب این است که: نحسی 13 این روز، به خاطر در خانه ماندن است. و برای این که نحسی آن بریزد باید به دامن طبیعت رفت... 
در غرب، هتلها طبقه سیزدهم ندارند، پس از طبقه دوازدهم طبقه چهاردهم می‌آید. در میان اتاق‌های هتلها اتاق شماره ۱۳ وجود ندارد.
چرا عدد ۱۳نحس شد؟
بسیاری از مردم، هیچگاه سیزده نفر را به شام یا ناهار دعوت نمی‌کنند اما آنچه مایه شگفتی می‌شود این است که درباره سرچشمه پیدایش تصور نحس بودن عدد ۱۳، هیچ گونه توافق یا وحدت نظری وجود ندارد.
در هر جایی نظری متفاوت با جای دیگری می‌دهند. بعضیها می‌گویند از نخستین روزی که انسان با شمارش اعداد آشنا شد، از عدد سیزده خوشش نمی‌آمد. ده انگشتش را با دو پایش جمع می‌کرد و به رقم دوازده می‌رسید. ولی فراتر از آن،یعنی سیزده، برایش ناشناخته و وحشت زا بود.
در محافل مذهبی مسیحیت، تصور خرافاتی نحس بودن عدد ۱۳ را به «آخرین شام» حضرت مسیح ارتباط می‌دهند، که در آن حضرت مسیح و دوازده حواریش که بر روی هم ۱۳ نفر می‌شوند حضور داشته اند.
برخی دیگر، این تصور را به ضیافت والهله در اساطیر یونان ارتباط می دهند که دوازده خدا به آن دعوت شده بودند. لوکی، روح ستیزه جویی و شیطنت، ناخواسته به آن جمع پیوست و تعدادشان به سیزده رساند. در نتیجه، بالدر، محبوب خدایان کشته شد. نکته شگفت آور دیگری که درباره عدد ۱۳ می‌گویند آن است که این عدد در نزد چینی‌ها و مصریان باستان مبارک و خجسته به شمار می‌رفته است.
خشایار شاه مشاوری داشته که فردی یهودی به نام موردخای بوده . در آن زمان خشایار شاه قصد حمله به یونان داشته که همسر او که نام او وشتی بود مانع این کار شد و گفت : ما که بر 127 ایالت حکومت داریم حال چرا جنگ و خونریزی به راه بیندازم ؟ از آنجا که یهودیان با یونانیها از قدیم الایام دشمنی خونی داشتند موردخای خواهان جنگ ایران و یونان بود اما همسر خشایار شاه مانعی برای رسیدن موردخای به هدفش بود به همین دلیل موردخای در گوش خشایار شاه خواند که این زن که الان مخالفت میکند چند وقت بعد نسبت به شما توطئه میکند و شما را به قتل میرساند تا پسرش به پادشاهی برسد . و بالاخره توانست در هنگام مستی خشایار شاه حکم خلع وشتی را بگیرد و در بعضی روایات آمده است که شاه به وشتی دستور داد که لخت در برابر انظار سرداران سپاه راه برود او سر پیچی کرد و اعدام شد .
از آنجا که خشایار شاه نمیتوانست عذب بماند دستور دادند زیبا ترین دختران ایران زمین را جمع کنند که این کار یک سال طول کشید و مصادف شد با عید نوروز . در این عید یکی از خواجگان درباره خشایارشاه که یهودی بود با هماهنگی موردخای هر شب برادر زاده ی موردخای به بالای سر شاه میرفت و از روی عمد برای او قصه های عاشقانه میگفت . موردخای این دختر را که نام اصلی آن هاداسا بود را داخل کاندیدا های همسری پادشاه قرار میدهد و نام او را استر (ester) میگذارد . وقتی کاندیدا ها به دیدار شاه می آیند شاه تا صدای ان دختر را میشنود اورا انتخاب میکند .
بعد از مدتی هامان وزذ شاه به موردخای و استر شک میکند اول گمان به خیانت میبرد اما بعدا به ان نتیجه میرسد که اینها فقط با هم صحبت میکنندپس طی پی گیری های هامان متوجه میشود که این دو یهودی هستند و سپس به پادشاه خبر داد که این دو قصده به هم ریختن حکومت را دارند و خشایار اه راضی شد که آنهارا اخراج کند و خشایار شاه نیز به استر میگوید و استر نیز به عمویش میگوید .
اینجا بود که نقشه فاجعه ای بزرگ ریخته شد . شب دوازدهم فروردین به شاه مشروب دادند حکم اعدام هامان و تمامی دارو دسته و اطرافیانش را امضا میکند .
صبح روز 13 فروردین حکم اجرا شد و 77000 ایرانی را قتل عام میکنند به این خاطر است که 13 نحس میشود .
13 بدر به این خاطر از خانه به بیرون میروند که میترسند باز هم در خانه خودشان به قتل برسند .
حال این عدد چرا برای مسیحیان نحس است؟
زیرا یهودا جوداریوس اسکاریوتی سیزدهمین نفری که مسیح را در مقابل 30 سکه فروخت







داغ کن - کلوب دات کام
نظرات() 

نویسنده :آراد صارمی
تاریخ:سه شنبه 16 اسفند 1390-09:22 ب.ظ

مثلث خیام پاسکال

مثلث خیام ، پاسکال
بسیاری عقیده دارند که مثلث حسابی پاسکال را باید مثلث حسابی خیام نامید و برخی پا را از این هم فراتر گذاشته اند و معتقد اند که دو جمله ای نیوتون را باید دوجمله ای خیام نامید . اندکی در این باره دقت کنیم.

همه کسانی که با جبر مقدماتی آشنایی دارند ،"دستور نیوتن" را درباره بسط دوجمله ای میشناسند. این دستور برای چند حالت خاص (وقتی n عددی درست و مثبت باشد) چنین است:

(a+b)0 = 1 (1)
(a+b)1 = a+b (1,1)
(a+b)2 = a2+2ab+b2 (1,2,1)
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 (1,3,3,1)
(a+b)4 = a4+4a3b2+6a2b2+4a2b3+b4 (1,4,6,4,1)
. . .

اعداد داخل پرانتزها، معرف ضریبهای عددی جمله ها در بسط دوجمله ای است.

بلیز پاسکال (Blaise Pascal) فیلسوف و ریاضی دان فرانسوی که کم وبیش با نیوتون همزمان بود، برای تنظیم ضریبهای بسط دوجمله ای، مثلثی درست کرد که امروز به "مثلث حسابی پاسکال" مشهور است. طرح این مثلث برای نخستین بار در سال 1665 میلادی در "رساله مربوط به مثلث حسابی "چاپ شد.مثلث حسابی چنین است:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

دراین مثلث از سطر سوم به بعد هر عددبرابر با مجموع اعداد بالا و سمت چپ آن در سطر قبل است و بنابراین میتوان آنرا تا هر جا که للازم باشدادامه داد. هرسطر این مثلث ضریبهای بسط دوجمله ای را در یکی از حالتها بدست میدهد بطوری که n همان شماره سطر باشد.

ضریبهای بسط دوجمله ای (برای توانهای درست و مثبت) حتا در سده دوم پیش از میلاد البته به صورت کم و بیش مبهم برای دانشمندان هندی روشن بوده است .باوجود این حق این است که دستور بسط دو جمله ای با نام نیوتن همراه باشد زیرا نیوتن آن را برای حالت کلی و وقتی n عددی کسری یا منفی باشد در سال 1676میلادی بکاربرد.که البته در این صورت به یک رشته بی پایان تبدیل میشود.

اما در باره مثلث حسابی وضریبهای بسط دوجمله ای در حالت طبیعی بودن n. از جمله، دستور بسط دو جمله ای را میتوان در "کتاب حساب مخفی" میخائیل شتیفل جبردان آلمانی (که در سال 1524 چاپ شد) پیدا کرد.

در سال 1948 میلادی،پاول لیوکی آلمانی،مورخ ریاضیات،وجود دستور نیوتن را برای توانهای طبیعی ،دز کتاب "مفتاح الحساب"(1427 میلادی) غیاث الدین جمشید کاشانی کشف کرد. بعدها س.آ.احمدوف ،مورخ ریاضیات و اهل تاشکند، دستور نیوتون وقانون تشکیل ضریبهای بسط دوجمله ای را،در یکی از رساله های نصر الدین توسی،ریاضیدان بزرگ سده سیزدهم میلادی ،کشف کرد (این رساله توسی درباره محاسبه بحث میکند). چه جمشید کاشانی وچه نصرالدین توسی ،این قاعده را ضمن بررسی قانون های مربوط به ریشه گرفتن از عددها آورده اند.

همچنین براساس آگاهی هایی که داریم حکیم عمر خیام رساله ای داشته که خود رساله تاکنون پیدا نشده ولی از نام آن "درستی شیوه های هندی در جذر وکعب "اطلاع داریم ،کهدر آن به تعمیم قانونهای هندی درباره ریشه دوم و سوم ،برای هر ریشه دلخواه پرداخته.لذا خیام از "دستور نیوتن" اطلاع داشته.

اما بنا به اسناد تاریخی معتبر قانونهای مربوط بهضریبهای بسط دوجمله ای وطرح مثلث حسابی تا سده دهم میلادی(برابر چهارم هجری) جلو میرود و به کرجی (ابوبکر محمد بن حسن حاسب کرجی ریاضیدان سده ده و یازده میلادی) پایان میپذیرد .بنابراین حتی" مثلث حسابی پاسکال" را هم از نظر تاریخی نمیتوان "مثلث حسابی خیام " نامید.




داغ کن - کلوب دات کام
نظرات() 

نویسنده :آراد صارمی
تاریخ:سه شنبه 16 اسفند 1390-10:50 ق.ظ

تاریخجه ی اعداد در ریاضی

تاریخچه ی اعداد در ریاضی

 اعداد طبیعی
استخوان ها و تکه چوبهایی بسیار قدیمی یافت شده که روی آنها شیارهایی وجود دارد. دانشمندان معتقدند این شیارها نماد نخستین استفاده ی بشر از اعداد هستند و میتواند نشانگر تعداد روزهای سپری شده یا تعداد دام های بشر اولیه باشد. این سیستم نمایش اعداد که "سیستم چوب خط" نامیده می شود (مثل خطوطی که زندانیان در فیلم ها برای روزهای سپری شده در زندان روی دیوار می کشند) نشانگر اعداد طبیعیست ({۱و۲و۳و...}). سیستم چوب خط دارای مفهوم "ارزش مکانی" نیست (مثل جایگاه دهگان، صدگان، هزارگان در سیستم با مبنای ده) و به همین خاطر دارای محدودیت نمایش اعداد بزرگ است. با این وجود سیستم چوب خط به عنوان قدیمی ترین سیستم نمایش اعداد شناخته می شوند. قدیمی ترین سیستم نمایش اعداد که دارای مفهوم ارزش مکانیست، سیستم نمایش اعداد با مبنای شصت است که به بابلیان در 3400 سال قبل از میلاد برمی گردد. همچنین قدیمی ترین سیستم نمایش اعداد با مبنای ده (مثل اعداد امروزی) به مصریان در 3100 سال قبل از میلاد باز می گردد.

اعداد حسابی
اعداد حسابی همان مجوعه ی اعداد طبیعی به اضافه ی عدد صفر است ({۰و۱و۲و...}) در نتیجه تاریخچه اعداد حسابی در واقع همان تاریخچه ی عدد صفر می باشد. اولین استفاده از صفر به عنوان عدد به استفاده از آن در "سیستم نمایش اعداد با ارزش مکانی" به عنوان "مکان نگه دار" برمی گردد. مثلا در سیستم با مبنای ده، تفاوت عدد یک با عدد ده تنها در یک صفر است. در واقع عدد صفر اینجا نقش مکان نگه دار را دارد یعنی مکان یکان را برای عدد ده نگه داشته است تا عدد یک نقش دهگان را داشته باشد. بابلیان، مصریان و هندیان در متون خود از عدد صفر استفاده کرده اند. همچنین اسناد بجا مانده نشان می دهد که مایاها (قوم مایا در قاره امریکا) نیز از عدد صفر استفاده می کردهداند. یونانیان باستان در مورد استفاده از صفر به عنوان یک عدد دچار شک بوده اند. آنها از خود می پرسیده اند "چگونه هیچ چیز می تواند چیزی باشد؟" که منظور از "هیچ چیز" همان صفر به مفهوم هیچ، عدم وجود یا خلا است. این سوال بحث های فلسفی جالبی را در آن زمان به راه انداخت.

اعداد صحیح
برای بررسی تارخچه اعداد صحیح ({...و-۲و-۱و۰و۱و۲و...}) باید به تاریخچه اعداد منفی بپردازیم. نخستین ظهور اعداد منفی در ریاضی به پنجاه تا صد سال قبل از میلاد و سرزمین چین باز می گردد. در کتاب "نه فصل درباره ی هنر ریاضی" که جزو قدیمی ترین کتب چینی در زمینه ی ریاضیات است از اعداد منفی در محاسبه ی مساحت شکل های هندسی استفاده شده. "دیوفانت اسکندرانی" ریاضیدان یونانی اولین دانشمند غربی بود که در فرن سوم میلادی و در حل معادلات درجه یک، به اعداد منفی برخورد کرد اما آن را غیرمعقول و مضحک توصیف کرد. هندی ها در قرن ششم از اعداد منفی برای نمایش بدهی استفاده می کردند. همچنین دانشمند هندی "براهما گوپتا" در سال 628 در کتاب خود از اعداد منفی در نمایش ریشه های معادله ی درجه دو استفاده می کند. فرمولی که او بکار برد امروزه نیز بکار می رود. اروپاییان تا قرن هفدهم غالبا در برابر استفاده از اعداد منفی مقاومت میکردند و جواب های منفی معادلات را نادیده می گرفتند و آن را بی معنی تعبیر می کردند (هرچند "فیبوناچی" در قرن سیزدهم جواب های منفی را در مساله های مالی پذیرفته می دانست و آن را به عنوان بدهی تعبیر می کرد). در قرن هجدهم "رنه دکارت" از اعداد منفی در نمایش "دستگاه مختصات دکارتی" استفاده کرد.

اعداد گویا
احتمالا مفهوم اعداد گویا ({p/q بطوریکه p,q اعداد طبیعی باشند}) یا اعداد کسری به زمان بسیار قدیم بازمی گردد. مصریان قدیم از "کسرهای مصری" برای نمایش اعداد گویا در متون ریاضی خود استفاده کرده اند. دانشمندان یونانی و هندی نیز مطالعاتی را بر روی اعداد گویا به عنوان زیرشاخه ای از "نظریه اعداد" انجام اده اند که شناخته شده ترین این مطالعات به اقلیدس در 300 سال پیش از میلاد باز می گردد.

اعداد گنگ
اعداد حقیقی ای که گویا نباشند گنگ نامیده می شوند. نخستین استفاده از اعداد گنگ در متون هندی (هشتصد تا پانصد سال قبل از میلاد) دیده میشود اما نخستین اثبات وجود اعداد گنگ به "فیثاغوریان" منتصب است. فیثاغورثیان، پیروان و شاگردان فیثاغورث فیلسوف و ریاضیدان یونانی بودند که توانستند اثباتی هندسی برای وجود عدد گنگ ۲√ ارائه کنند. نقل است که در رقابت های علمی که در آن زمان بین گروه های مختلف در جریان بود این عدد نقش برگ برنده را برای فیثاغورثیان بازی کرد. آنان تلاش کردند تا این عدد را بصورت کسری نمایش دهند اما موفق نشدند (امکان نمایش کسری عدد گنگ وجود ندارد چه در غیر اینصورت آن عدد گویا خواهد بود نه گنگ). عدد گنگ ۲√ یک "عدد جبری" است (عدد جبری عددیست که ریشه ی یک چند جمله ای یک متغیره با ضرایب گویا باشد). اعداد غیر جبری را "اعداد متعالی" می نامند. اگر خود را به مجموعه ی اعداد حقیقی محدود کنیم اعداد متعالی زیر مجموعه ی اعداد گنگ هستند و مهمترین آنان "عدد نپر" و "عدد پی" است. بنا به شواهد تاریخی نخستین بار عدد پی توسط بابلیان (3.125) و مصریان(3.1604) در 1900 سال قبل از میلاد محاسبه شد که هر دو تا یک رقم اعشار صحیح است. همچنین عدد نپر به منتصب به "جان نپر" دانشمند اسکاتلندی و معرف لگاریتم است که در قرن شانزدهم و هفدهم می زیست. برای مطالعه ی بیشتر در مورد اعداد گنگ به
اینجا مراجعه کنید.

اعداد مختلط

مفهوم اعداد مختلط رابطه ی مستقیمی با ریشه ی یک اعداد منفی دارد. نخستین برخورد با ریشه ی یک عدد منفی برمی گردد به قرن اول میلادی جایی که دانشمند یونانی "هرون اسکندریه" مشغول محاسبه ی حجم "هرم ناقص" بود. همچنین همانطور که در مبحث اعداد منفی گفته شد "براهما گوپتا" دانشمند هندی فرمولی برای ریشه های معادله ی مرتبه دو ارائه کرد که او نیز در آنجا با ریشه ی اعداد منفی روبرو شد. این موضوع بعدها در قرن شانزدهم یعنی زمانی که دانشمندان اروپایی به دنبال یافتن فرمول های مشخص برای نمایش ریشه های معادلات مرتبه سه و چهار بودند برجسته تر شد. این مساله زمانی بغرنج تر می شد که به یاد بیاوریم که در آن زمان اروپاییان اعداد منفی را هم نادیده می گرفتند چه برسد به ریشه ی اعداد منفی!!! در سال 1637 "رنه دکارت" واژه ی موهومی را به این اعداد نسبت داد. بعدها در قرن هجدهم "آبراهام دمویر" و "لئونارد اویلر" فرمول های برای اعداد مختلط ارائه دادند. وجود اعداد مختلط بطور کامل پذیرفته نشده بود تا اینکه در سال 1799 "کاسپر وسل" تعبیری هندسی برای اعداد مختلط ارائه کرد. در همین سال "کارل فردریش گاوس" اثبات یکی از مهمترین قضایای ریاضی یعنی "قضیه اساسی جبر" را ارائه کرد که نشان می دهد هر چند جمله ای مرتبه ی n با ضرایب مختلط دارای n ریشه ی مختلط است.

بینهایت
نخستین بار مفهوم ریاضی بینهایت در یک دستخط هندی دیده می شود که می گوید "اگر مقداری به بینهایت اضافه کنیم یا مقداری از بینهایت کم کنیم آنچه باقی می ماند همچنان بینهایت خواهد بود". مفهوم بینهایت عنوان رایجی برای مطالعات فلسفی بوداییان هندی در 400 سال قبل از میلاد بود. ارسطو نماد سنتی بینهایت تعریف کرد. گالیله در قرن هفدهم و در کتاب "دو علم جدید" در مورد ایده ی تناظر یک به یک بین مجموعه های نامتناهی صحبت کرد. اما پیشرفت مهم بعدی در این زمینه به نظریه ی "جورج کانتور" بر می گردد. وی در سال 1985 کتابی در زمینه ی نظریه ی مجموعه ها منتشر کرد که در آن برای اولین بار مدلی ریاضی برای نمایش بینهایت بوسیله ی اعدادی خاص (مانند "الف صفر" و "الف یک") و اعمال ریاضی بین اعداد نامتناهی ارائه کرد.




داغ کن - کلوب دات کام
نظرات() 

نویسنده :آراد صارمی
تاریخ:سه شنبه 16 اسفند 1390-10:43 ق.ظ

عدد پی

عدد مشهور 3.14 یا همان عدد "پی" در پیچیده ترین حالت عددی خواهد بود که تا کنون دو هزار و 700 بیلیون رقم اعشار برای آن محاسبه شده است اما نشریه نیوساینتیست پنج وجه دیگر این عدد را نیز به مناسبت روز عدد پی آشکار کرده است.
ریاضیدانان هر سال در 14 مارچ روز عدد پی را گرامی می دارند. روزی که به احترام محاسبه اولین اعشار عدد مشهور 3.14 نامگذاری شده است. شاید همه بدانند که عدد پی نسبت محیط دایره به قطر آن را تعیین می کند اما حقایق ناآشناتری درباره این پدیده ریاضی نیز وجود دارد که در ادامه به پنج مورد از آنها اشاره خواهد شد.

ادامه ی مطلب


عدد پی در آسمان
شاید ستاره های آسمان الهام بخش یونانیان باستان بوده اند اما یونانیان هرگز از این نقاط درخشان برای محاسبه عدد پی استفاده نکرده اند. رابرت ماتیوز از دانشگاه استون به منظور انجام این محاسبه اطلاعات نجومی و اخترشناسی را با نظریه اعداد ترکیب کرد. وی از این حقیقت که برای هر مجموعه بزرگ از اعداد اتفاقی احتمال اینکه هر دو عدد با یکدیگر هیچ وجه مشترکی نداشته باشند، عدد 6 تقسیم بر عدد پی به توان دو خواهد بود، استفاده کرد. ماتیوز فاصله فضایی میان 100 نمونه از درخشانترین ستاره های آسمان را محاسبه کرده و آنها را به یک میلیون جفت از اعداد تصادفی تبدیل کرد که در حدود 61 درصد از آنها هیچ وجه اشتراکی با یکدیگر نداشتند. با این مطالعات ماتیوز توانست مقدار عدد پی را تا 3.12772 محاسبه کند که 99.6 درصد صحیح است.


عدد "پی" مانند رودخانه ها به زمین باز می گردد
عدد پی بر روی زمین نیز فعالیتهایی را به عهده دارد. این عدد می تواند مسیر رودخانه های پیچ در پیچی مانند آمازون را محاسبه کند. میزان پیچ و خم یک رود به واسطه انحراف آن از مسیر مستقیم تا منبع آب رود شرح داده می شود و عدد پی نشان می دهد یک رودخانه متوسط دارای انحراف مسیری در حدود 3.14 است.



"پی" تنها عددی است که الهام بخش ادبیات بوده است
"الکس بلوز" روزنامه نگار در کتاب جدید خود با نام "ماجراجوییهای الکس در سرزمین اعداد" شرح می دهد چگونه عدد پی توانسته است الهام بخش شکلی از نگارش خلاقانه به نام Pilish شود. با استفاده از این شیوه اشعاری نگاشته می شوند که تعداد حروف واژه های متوالی در آن با کمک عدد پی تعیین می شوند. یکی از مشهورترین اشعاری که به این سبک سروده شده است Cadaeic Cadenza نام دارد که توسط "مایک کیث" نوشته شده است. وی در عین حال کتابی 10 هزار کلمه ای را نیز با کمک این تکنیک نگاشته است.


عدد "پی" در اتاق منزل شما
جدیدترین محاسبات مقدار عدد پی را تا دو هزار و 700 بیلیون رقم تعیین کرده اند که آخرین آن سال گذشته توسط "فابریس بلارد" انجام گرفته است. وی برای محاسبه این ارقام از رایانه استفاده کرده است اما می توان با کمک چند سوزن و برگه ای کاغذ خط دار نیز این عدد را به راحتی محاسبه کرد. سوزنها را بر روی کاغذ بیاندازید و میزان درصد سقوط سوزنها بر روی یک خط مستقیم را محاسبه کنید. با کمی دقت پاسخ به دست آمده باید طول سوزن تقسیم بر فاصله میان خطوط باشد که در عدد دو تقسیم بر عدد پی ضرب شده باشد. این فرمول پس از ارائه آن توسط "کامت دو بوفون" ریاضیدان فرانسوی در سال 1733 به "مسئله سوزن بوفون" شهرت یافته است. این نظریه در سال 1901 برای اولین بار مورد آزمایش "ماریو لازارینی" قرار گرفت و وی برای محاسبه عدد در حدود سه هزار و 408 سوزن را بر روی کاغذ ریخت تا بتواند مقدار عدد پی را تا 3.1415929 به دست آورد.


اطلاعات بانکی شما در عدد "پی" دیده می شوند

عدد پی عددی بی قاعده است و می تواند برای همیشه امتداد داشته باشد، این به آن معنی است که احتمال یافتن هر نوع عددی در آن وجود خواهد داشت. تاریخ تولد، شماره تلفن و یا حتی جزئیات شماره حسابهای بانکی افراد می توانند خود را در لشگر اعداد و ارقام عدد پی پنهان کرده باشند. در عین حال با استفاده از کدهایی که اعداد را به حروف تبدیل می کند، حتی می توان آثار کامل شکسپیر و یا هر کتاب دیگری که تا کنون نوشته شده است را در میان ارقام عدد پی مشاهده کرد.

عدد پی از عددهای ثابت ریاضی و تقریباً برابر با ۳٫۱۴۱۵۹ است. این عدد را با علامت π نشان می‌دهند. عدد پی عددی حقیقی و گُنگ است که نسبت محیط دایره به قطر آن را در هندسه‌ی اقلیدسی مشخص می‌کند و کاربردهای فراوانی در ریاضیات، فیزیک و مهندسی دارد. عدد پی همچنین به ثابت ارشمیدس نیز معروف است.
 
 

 

مقدمه:عدد پی: از عددهای ثابت ریاضی و تقریباً برابر با ۳٫۱۴۱۵۹ است. این عدد را با علامت π نشان می‌دهند. عدد پی عددی حقیقی و گُنگ است که نسبت محیط دایره به قطر آن را در هندسه‌ی اقلیدسی مشخص می‌کند و کاربردهای فراوانی در ریاضیات، فیزیک و مهندسی دارد. عدد پی همچنین به ثابت ارشمیدس نیز معروف است.تاریخچه:کمی بیش از دو قرن است که نسبت طول محیط دایره را به قطر آن ،با نشانهπ می شناسند. این نشانه حرف اول یک کلمه یونانی به معنای محیط است.برای نخستین بار «ویلیام جون»،ریاضیدان انگلیسی،در سال ۱۷۰۶ از این نشانه استفاده کرد و از میانه سده هجدهم که« لیونارد اولر» کتاب «آنالیز» خود را چاپ کرد دیگر در همه جا به کار رفت.ولی خود مفهوم این عدد (البته بدون اینکه نشانه ای برای ان در نظر گرفته شده باشد )،بیش از چهارهزار سال سابقه دارد.آنها که هرم مشهور « خیوپو س » رامورد بررسی قرار د اده اند در نسبت اندازه های آن،رد پاهای اشکاری از این نسبت یعنی نسبت محیط دایره به قطر آن دیده اند: خارج قسمتی که از تقسیم مجموع دو ضلع قاعده بر ارتفاع هرم به دست می آید، مساوی ۱۴۱۶/۳ است واین همان مقدار عدد π است که سه رقم بعد از ممیز ان دقیق است. «پاپیروس» معروف به «آهمس» روش زیر را برای ساختن مربعی که سطح دایره داشته باشد ،ذکر می کند: «از قطر دایره ، یک نهم آن را کنار بگذارید و مربعی بسازید که ضلع آن مساوی اندازه بقیه قطر باشد . این مربع هم ارز دایره خواهد بود .» از این مطلب نتیجه می شود که مقدار π برای آهمس ، برابر ۱۶۵۰/۳ بوده است . ظاهرا” سازندگان همرم ها ، از راز این عدد آگاه بوده اندیونان باستان مساحت هر شكل هندسی را از راه تربیع آن یعنی از راه تبدیل ان به مربعی هم مساحت بدست می آوردند.از این راه توانسته بودند به چگونگی محاسبه هر شكل پهلو دار پی ببرند . آن گاه كه محاسبه مساحت دایره پیش امد دریافتند كه تربیع دایره مسئله ای ناشدنی می نماید . در هندسه اقلیدسی ثابت شده بود كه نسبت محیط هر دایره به قطر آن عدد ثابتی است . و مساحت دایره از ضرب محیط در یك چهارم آن بدست می اید و مسئله بدان جا انجامید كه خطی رسم كنند كه در ازای آن با آن مقدار ثابت برابر باشد رسم این خط ناشدنی است .سرانجام راه چاره را در آن دیدند كه یك مقدار تقریبی مناسب برای آن مقدار ثابت بدست آورند . ارشمیدس كسر بیست و دو هفتم را بدست آورد كه سالیان دراز آن را به كار می بردند .پس از آن و برای محاسبات دقیقتر كسر سیصد و پنجاه و پنج بر روی صد و سیزده را به كار بردند. اختلاف بین عدد پی و مقدار تقریبی سیصد و پنجاه و پنج بر روی صد و سیزده فقط حدود سه ده میلیونم است . ریاضی دان بزرگ ایرانی جمشید كاشانی برای نخستین بار مقدار ثابت نسبت محیط به قطر دایره را بدست آورد كه تا شانزده رقم پس از ممیز دقیق بود این ریاضی دان و منجم مسلمان ایرانی توانست مقدار دوبرابر π راتا شانزده رقم اعشار در رساله محیطیه برابر 6.2831853071795865 بدست آوردتیکوبراهه منجم دانمارکی پی را عدداعشاری ۱۴۰۹ / ۳ معرفی نمود.فرانسواویت ریاضی دان فرانسوی به کمک ۳۹۳۲۱۶ ضلعی مقدار پی راتا۹ رقم اعشار محاسبه کرد.درضمن ریاضیدانانی نظیر جان والیس - آندریاس رومانوس - لودلف - ویلیام برونکر - آبراهام شارپ نیز عدد پی را تا ارقام خاصی محاسبه نمودند.در زبانهای مختلف شعرها ومتن هایی گفته اند که با شمارش کلمات وحروف آن ارقام پی مشخص می شود.درزبان فارسی نیز شعر زیر مقدارپی را تا۱۰ رقم اعشار نمایان می کند:خرد وبینش وآگاهی دانشمندان ره سرمنزل توفیق بما آموزد ۳ ۱ ۴ ۱ ۵ ۹ ۲ ۶ ۵ ۳ ۵ دراینجا مقدارپی را تا ۳۰ رقم اعشار بیان می کنیم: ۱۴۱۵۹۲۶۵۳۵۸۹۷۹۳۲۳۸۴۶۲۶۴۳۳۸۳۲۷۹ / ۳ تعریفی از عدد پی:عدد پی عدد گنگی است كه در اكثر محاسبات ریاضی به نحوی حضور دارد و ازمهمترین اعداد كاربردی ریاضیات می باشد .در هندسه اقلیدسی دو بعدی این عدد را نسبت محیط دایره به قطر دایره و یا مساحت دایره به شعاع واحد تعریف می كنند.در ریاضیات مدرن این عدد را در علم آنالیز و با استفاده از توابع مثلثاتی به صورت دقیق تعریف میكنند.به عنوان نمونه عدد پی را دو برابر كوچكترین مقدار مثبت xكه به اازای آن cos(x)=0میشود تعریف می كنند.تقریب اعشاری عدد پی:اولین نظریه در مورد مقدار تقریبی عدد پی توسط ارشمیدس بیان شد.این نظریه بر پایه تقریب زدن مساحت دایره بوسیله یک شش ضلعی منتظم محیطی و یک شش ضلعی منظم محاطی استوار است.ریاضیدانان اروپایی در قرن هفدهم به مقدار واقعی عدد پی نزدیک‌تر شدند.از جمله این دانشمندان جیمز گریگوری بود که برای پیدا کردن مقدار عدد پی از فرمول زیر استفاده کرد:
یکی از مشکلاتی که در این روش وجود دارد این است که برای پیدا کردن مقدار عدد پی تا 6 رقم اعشار باید پنج میلیون جمله از سری فوق را با هم جمع کنیم.در اوایل قرن هجدهم ریاضیدان دیگری به نام جان ماشین فرمول گریگوری را اصلاح کرد که این فرمول امروزه نیز در برنامه های رایانه ای برای محاسبه عدد پی مورد استفاده قرار می‌گیرد.این فرمول به صورت زیر است: با استفاده از این فرمول یک انگلیسی به نام ویلیام شانکس مقدار عدد پی را تا 707 رقم اعشار محاسبه کرد،در حالیکه فقط 527رقم آن درست بود.امروزه مقدار عدد پی با استفاده از پیشرفته ترین رایانه ها تا میلیونها رقم محاسبه شده است. و تعداد این ارقام هنوز در حال افزایش است. كاربرد عدد پی:مهندسان هخامنشی راز استفاده از عدد پی (۱۴/۳ ) را دو هزار و 500 سال پیش كشف كرده بودند. آنها در ساخت سازه های سنگی و ستون های مجموعه تخت جمشید كه دارای اشكال مخروطی است، از این عدد استفاده می كردند.
عدد پی ۳/۱۴در علم ریاضیات از مجموعه اعداد طبیعی محسوب می شود. این عدد از تقسیم محیط دایره بر قطر آن به دست می آید. كشف عدد پی جزو مهمترین كشفیات در ریاضیات است. كارشناسان ریاضی هنوز نتوانسته اند زمان مشخصی برای شروع استفاده از این عدد پیش بینی كنند. عده زیادی، مصریان و برخی دیگر، یونانیان باستان را كاشفان این عدد می دانستند اما بررسی های جدید نشان می دهد هخامنشیان هم با این عدد آشنا بودند.
«عبدالعظیم شاه كرمی» متخصص سازه و ژئوفیزیك و مسئول بررسی های مهندسی در مجموعه تخت جمشید در این باره،‌ گفت: «بررسی های كارشناسی كه روی سازه های تخت جمشید به ویژه روی ستون های تخت جمشید و اشكال مخروطی انجام گرفته؛ نشان می دهد كه هخامنشیان دو هزار و 500 سال پیش از دانشمندان ریاضی دان استفاده می كردند كه به خوبی با ریاضیات محض و مهندسی آشنا بودند. آنان برای ساخت حجم های مخروطی راز عدد پی را شناسایی كرده بودند.»
دقت و ظرافت در ساخت ستون های دایره ای تخت جمشید نشان می دهد كه مهندسان این سازه عدد پی را تا چندین رقم اعشار محاسبه كرده بودند. شاه كرمی در این باره گفت: «مهندسان هخامنشی ابتدا مقاطع دایره ای را به چندین بخش مساوی تقسیم می كردند. سپس در داخل هر قسمت تقسیم شده، هلالی معكوس را رسم می كردند. این كار آنها را قادر می ساخت كه مقاطع بسیار دقیق ستون های دایره ای را به دست بیاورند. محاسبات اخیر، مهندسان سازه تخت جمشید را در محاسبه ارتفاع ستون ها، نحوه ساخت آنها،‌ فشاری كه باید ستون ها تحمل كنند و توزیع تنش در مقاطع ستون ها یاری می كرد. این مهندسان برای به دست آوردن مقاطع دقیق ستون ها مجبور بودند عدد پی را تا چند رقم اعشار محاسبه كنند.»
هم اكنون دانشمندان در بزرگ ترین مراكز علمی و مهندسی جهان چون «ناسا» برای ساخت فضاپیماها و استفاده از اشكال مخروطی توانسته اند عدد پی را تا چند صد رقم اعشار حساب كنند. بر اساس متون تاریخ و ریاضیات نخستین كسی كه توانست به طور دقیق عدد پی را محاسبه كند، «غیاث الدین محمد كاشانی» بود. این دانشمند اسلامی عددپی را تا چند رقم اعشاری محاسبه كرد. پس از او دانشمندانی چون پاسكال به محاسبه دقیق تر این عدد پرداختند. هم اكنون دانشمندان با استفاده از رایانه های بسیار پیشرفته به محاسبه این عدد می پردازند.
شاه كرمی با اشاره به این موضوع كه در بخش های مختلف سازه تخت جمشید، مقاطع مخروطی شامل دایره، بیضی، و سهمی دیده می شود، گفت: «به دست آوردن مساحت، محیط و ساخت سازه هایی با این اشكال هندسی بدون شناسایی راز عدد پی و طرز استفاده از آن غیرممكن است.»
داریوش هخامنشی بنیان گذار تخت جمشید در سال 521 پیش از میلاد دستور ساخت تخت جمشید را می دهد و تا سال 486 بسیاری از بناهای تخت جمشید را طرح ریزی یا بنیان گذاری می كند. این مجموعه باستانی شامل حصارها، كاخ ها،‌ بخش های خدماتی و مسكونی، نظام های مختلف آبرسانی و بخش های مختلف دیگری است.
مجموعه تخت جمشید مهمترین پایتخت مقاومت هخامنشی در استان فارس و در نزدیكی شهر شیراز جای گرفته است.


 




داغ کن - کلوب دات کام
نظرات() 

نویسنده :آراد صارمی
تاریخ:سه شنبه 16 اسفند 1390-10:42 ق.ظ

اعداد دوقلو

آیا میدانید به چه اعدادی دوقلو گویند ؟

کوششی در جهت اثبات حدس اعداد دوقلو است که توسط گلدستون ( Goldston ) و همکارانش ( Hotohashi, Pintz and Yildirim ) ارائه شده است. حدودا یک سال قبل ، اثباتی به وسیله گلدستون و یلدریم ( Yildirim ) مطرح شد اما اشتباهی در آن صورت گرفته بود که توسط گرانویل ( Granville ) و ( Soundararajan ) پیدا شد و آن کوشش بی نتیجه باقی ماند . اما این بار گرانویل اعتقاد دارد با توجه به بررسی های انجام شده تلاشهای گلدستون و همکارانش درست است. گلدستون نیز طی مصاحبه ایی که با Mercury News انجام داده کار 20 ساله اش و تلاش ناموفقی را که داشت بیان نموده و ادعا کرده این بار کار او و همکارانش درست است.

همان طور که می دانید اعداد دو قلو اعداد اولی هستند که در دو واحد با هم اختلاف دارند به عنوان مثال جفت های 3 و 5 از جمله جفت اعداد دو قلوهستند. در واقع این جفت ها به صورت p و p+2 می باشند.

این نام اولین بار توسط پل استکر (1919-1892) به این اعداد داده شد.

هنگامیکه هنوز مسئله چگونگی توزیع اعداد اول دوقلو حل نشده بود وی بران اثبات کرد که مجموع معکوسات این اعداد حتی وقتی که تعداد آنها نامتناهی باشد به عدد خاصی میل می کند. این نتیجه به نام قضیه بران نامیده می شود و عدد B ثابت بران معروف است و تقریبا برابر با 1.902160583104 اسنت .جالب به نظر می رسد که بدانید محاسبات بسیار دقیق توماس نیکلی در سال 1995 برای یافتن ثابت بران باعث آشکار شدن یکی از مشکلات جدی میکروپروسسورهای اینتل شد.

باید توجه کرد که مجموع معکوسات کلیه اعداد اول همگرا نیست که این نتیجه حتی از حکم نامتناهی بودن اعداد اول نیز قویتر است. قضیه بران نشان می دهد که اعداد اول دوقلو در میان کلیه اعداد اول بسیار پراکنده اند.

اما ایا اعداد دوقلو نامتناهی هستند؟ حدس اعداد دوقلو بر این سوال پایه گذاری شده است تعدادجفت اعداد دوقلو نامتناهی هستند.

اگر چه این مساله بیش از صد ساله است که شناخته شده اما همچنان حل نشده باقی مانده است.هاردی و رایت (1979) با بررسی جزئیات این حدس آن را تصدیق نمودند. البته هاردی و رایت بیان نمودند که اثبات و یا رد این حدس از دسترس ریاضیات کنونی خارج می باشد.

اگر (1)p(n) , .... p دنباله ایی از همه اعداد اول باشند ، آیا تعداد نامتناهی n وجود دارد که تفاضل (p(n+1 و (p(n کمتر از مثلا 10 باشد؟ اگر بتوان این مساله را حل نمود می توان گامی اساسی در جهت حل حدس دو قلو برداشت. اساس اثبات گدستون بر همین پایه است ایده اثبات به این روش فرمول زیر است و در حقیقت پیدا کردن یک کران بالا یا مقداری برای D است.

[(D = lim infn → ∞ [{p(n+1) - p(n)}/log p(n

آنچه از نظریه اعداد اول دانسته می شود این است که D باید کمتر از یک باشد در سال 1926 هاردی و لیتل وود ( Hardy and Littlewood ) با شرط درست بودن فرضیه ریمان تعمیم یافته مقدار 2/3 برای D پیدا کردند ( فرضیه ریمان فرضیه ایی که بیان می کنند قسمت حقیقی کلیه ریشه های تابع زتا ی ریمان که دارای قمست حقیقی مثبت هستند برابر ½ است.) این روند ادامه پیدا کرد تا اینکه تقریبا دو سال قبل گلدستون و یلدریم نشان دادند که این مقدار مساوی صفر است البته همان طور که اشاره شد آن اثبات اشتباهی داشت که اکنون آن را تصحیح کرده اند.






داغ کن - کلوب دات کام
نظرات() 

نویسنده :آراد صارمی
تاریخ:سه شنبه 16 اسفند 1390-10:37 ق.ظ

معمّا های انیشتین

معمّا های انیشتین 

معماهایی كه انیشتین مطرح كرده خیلی جالبن. احتمالا بعضی هاشون رو شنیدین. مخصوصا دو تای اولی رو. با ان حال اونا رو هم میذارم شاید كسی ندیده باشه.
 ;D

1- خرس

شخصی در یكی از سر زمین های غربی با خرسی مواجه شد.در حالی كه هر دو ترسیده بودند شروع به فرار كردند.خرس به سمت غرب و مرد به سمت شمال.
در نقطه ای مرد ناگهان ایستاد و تفنگش را به طرف جنوب نشانه رفت و خرس را مورد هدف قرار داد.
به نظر شما خرس چه رنگی داشته؟
شاید این نكته به شما در رسیدن به جواب كمك كند.اگر خرس 14/3بار سریعتر از مرد به سمت غرب بدود.مرد میتواند به راحتی از جلو به او شلیك كند.گرچه برای به غنیمت بردن خرس او مجبور خواهد بود به جنوب برود.


2- همسایه ها
در محله ای ردیفی از پنج خانه وجود دارد.هر كدام از خانه ها دارای رنگ خاصی هستند.افرادی كه در این خانه ها زندگی می كنند نیز از پنج ملیت متفاوت هستند.هر كدام از حیوان خاصی نگه داری میكنند سیگارهای متفاوتیم ی كشند و به نوشیدنی های متفاوتی علاقه مند هستند.
 
1.مرد انگلیسی در خانه قرمز زندگی می كند.
2.سوئدی سگ در خانه نگاه می دارد
 3. مرد دانماركی چای می نوشد.
4 خانه سبز رنگ در سمت چپ خانه سفید قرار دارد.
5.صاحب خانه سبز قهوه می نوشد.
6.شخصی كه سیگار pall mallمی كشد پرنده پرورش میدهد.
7.صاحب خانه زرد سیگار dunhill می كشد.
8.مردی كه در خانه وسطی زندگی میك ند شیر می نوشد.
9.مرد نروژی در اولین خانه زندگی میك ند.
10.مردی كه سیگار blends میكشد در كنار مردی كه گربه نگه می دارد زندگی می كند.
11.مردی كه از اسب نگه داری میكند كنار مردی كه dunhill میكشد زندگی می كند.
12.مردی كه سیگار blue master   میكشد آبجو می نوشد.
13.مرد المانی سیگار prince  میك شد.
14.مرد نروژی كنار خانه آبی زندگی می كند.
15.مردی كه سیگار blends میكشد همسایه ای دارد كه آب می نوشد.
سؤال این است كه چه كسی ماهی پرورش می دهد؟


3- میهمانی
 
هشت زوج زن و مرد در یك میهمانی با یك دیگر ملاقات كردند كه به یكدیگر كتاب امانت بدهند.زوجها دارای  نام خانوادگی مشترك شغل مشترك و یك اتوموبیل مشترك هستند.ا هركدام رنگ خاصی را می پسندند.
به علاوه ما از موارد زیر نیز با خبر هستیم:
 
1.دانیلا بلك و شوهرش به عنوان دست فروش كار می كنند.
2.كتاب "سگ آبی" متعلق به زوجی است كه رنگ قرمز را دوست دارند و اتوموبیل آنها فیات است.
3.یان و ویكتوریا رنگ قهوه ای را دوست دارند.
4.استن هوریكز و همسرش هانا سفید را می پسندند.
5.جنی اسمیت و شوهرش سرایدار هستند و اتوموبیل آنها وارتبرگ است.
6.مونیكا و الكساندر كتاب "پدر بزرگ ژورف " را امانت گرفتند.
7.ماتیو و همسرش رنگ صورتی را دوست دارند و كتاب"mulatka Gabriella" را برای امانت دادن با خود آورده اند.
8.ایرن و اتو حسابدار هستند.
9.كتاب " ما پنج نفر بودیم"توسط كسانی كه ترابانت می راندند به امانت برده شد.
10.سرماك ها هردوخدمتكار هستند و كتاب "shed stoat" را همراه خود آورده اند.
11.خانم و آقای كوریل هردو پزشك هستند و كتاب قاضی اسلو واكو" را امانت گرفته اند.
12.پول و همسرش رنگ سبز را دوست دارند.
13.ورونیكا و شوهرش آبی را  می پسندند.
14.ریك و همسرش كتاب "قاضی اسلو واكو" را آورده اند و اتوموبیل آنها زیگولی است.
15.یك زوج كتاب "dame commissar" را آورده اند و به جای آن كتاب"multaka Gabriela" را به امانت بردند.
16.زوجی كه اتو موبیل آنها داسیا است رنگ بنفش را دوست دارند.
17.زوجی كه معلم هستند كتاب"dame commissare" را امانت گرفتند.
18.اتوموبیل زوج كشاورز موسكویك است.
19.پاملا و شوهرش رنو دارند و كتاب "پدر بزرگ ژوزف" را آورده اند.
20. پاملا و شوهرش كتابی را كه آقا و خانم  زاك آورده اند به امانت گرفتند.
21.روبرت و همسرش زرد را دوست دارند و كتاب " كمدی مدرن" را امانت گرفته اند.
22.آقا و خانم اسواین مغازه دار هستند.
23.كتاب "كمدی مدرن" متعلق به زوجی است كه اتومو بیل اآنها اسكودا است.
اكنون با توجه به این شرایط اطلاعاتمربوط به هر خانواده را استخراج كنید.


4- كشتی ها
 
1.كشتی یونانی ساعت 6 حركت میكند و بار آن قهوه است.
2.كشتی وسطی دود كش سیاه دارد.
3.كشتی اسپانیایی ساعت9 حركت میكند.
4.كشتی فرانسوی با دود كش آبی سمت چپ كشتی با بار قهوه قرار دارد.
5.كشتی كه به مارسل می رود سمت راست كشتی است كه كاكائو حمل می كند.
6.كشتی برزیلی به سمت مانیل میرود.
7.كنار كشتی برنج كشتی ای قرار دارد كه دود كش آن سبز است.
8.كشتی ای كه به ژنو می رود ساعت 5 حركت می كند.
9.كشتی اسپانیایی كه ساعت 9 حركت میكند سمت راست كشتی است كه به مارسل میرود.
10.كشتی با دودكش قرمز به هامبورگ می رود.
11.كنار كشتی كه ساعت 7 حركت میكند كشتی با دود كش سفید قرار دارد.
12.كشتی كه در كنار قرار دارد ذرت حمل می كند.
13.كشتی با دود كش سیاه ساعت 7 حركت می كند.
14.كشتی كه ذرت حمل می كند كنار كشتی برنج است.
15.كشتی ای که مقصدش هامبورگ  است ساعت 6 حركت می كند.
با این شرایط اطلاعات مربوط به زمان حركت كشتیها و نحوه بارگیری آن ها را مشخص كنید.



5- باغبان ها
پنج دوست كنار یكدیگر باغ دارند.در این باغ ها سه نوع بذر پرورش می دهند.میوه(سیب, گلابی, زرد آلو, گیلاس) سبزی جات(پیاز, هویج, كلم, كدو) و گل (رز, لاله, زنبق ومیخك)
 
1- آنها مجموعا 12 محصول مختلف پرورش میدهند.
2- هر كس دقیقا 4 محصول دارد.
3- هر محصول در یك باغچه قرار دارد.
4- فقط یك محصول هست كه در 4 باغچه موجود می باشد.
5- فقط در یك باغچه سه نوع بذر كشت شده.
6-  فقط در یک باغ  فقط یک نوع بذر کاشته شده .
7-گلابی ها فقط در باغ اول و باغ آخر وجود دارند.
8-باغ پل در وسط قرار دارد و لی در آن زنبقی نیست.
9-كسی كه میخك پرورش میدهد دیگر سبزیجات نمی كارد.
10-كسی كه رز دارد كلم پرورش نمی دهد.
11-كسی كه زرد آلو دارد كلم و كدو هم می كارد.
12-اولین باغچه سیب هم دارد.
13-فقط ذز دو باغچه گیلاس وجود دارد.
14-در باغ سام پیاز و گیلاس هست.
15-لوك فقط دو نوع میوه پرورش می دهد.
16-فقط در دو باغ لاله كشت می شود.
17-یك باغ سیب دارد.
18-فقط در یك باغ كه كنار باغ ریك است كلم كشت میشود.
19-باغ سام در دو انتها قرار ندارد.
20-هنك نه سبزی می كارد و نه میخك.
21-پل سه نوع سبزی دارد.
محصولات هر كدام از باغبان ها را مشخص كنید.




داغ کن - کلوب دات کام
نظرات() 

نویسنده :آراد صارمی
تاریخ:دوشنبه 15 اسفند 1390-11:18 ب.ظ

تفاوت هندسه اقلیدسی و نااقلیدسی

علومی كه از یونان باستان توسط اندیشمندان اسلامی محافظت و همین طور تكمیل شد، از قرون یازدهم میلادی به بعد به اروپا منتقل شد،  که این علوم بیشتر شامل ریاضی و فلسفه ی طبیعی می شد.

فلسفه ی طبیعی توسط كوپرنیك، برونو، كپلر و گالیله به چالش كشیده شد و از آن میان فیزیك نیوتنی بیرون آمد. چون كلیسا خود را مدافع فلسفه طبیعی یونان می دانست و جستجو در آن با خطرات زیادی همراه بود، اندیشمندان  با كنجكاوی بیشتر به ریاضیات می پرداختند، زیرا كلیسا نسبت به آنها حساسیت نشان نمی داد. بنابراین ریاضیات نسبت به فیزیك از پیشرفت بیشتری برخوردار بود. یكی از شاخه های مهم ریاضیات هندسه بود كه آن هم در هندسه ی اقلیدسی خلاصه می شد.

«نیکلای ایوانوویچ لوبا چفسکی» نخستین کسی بود که در سال 1829 مقاله ای در زمینه هندسه نا اقلیدسی منتشر ساخت.هنگامی که این اثر از او منتشر شد خیلی مورد توجه قرار نگرفت،و این موضوع به این علت بود که به زبان روسی نوشته شده بود و روس هایی که آن را می خواندند، سخت خرده گیری می کردند.

او در سال 1840 مقاله ای به زبان آلمانی منتشر کرد که بسیار مورد توجه دانشمند معروف  «گاوس» قرار گرفت.

بنابراین در قرن نوزدهم دو ریاضیدان بزرگ به نام «لباچفسکى» و «ریمان» دو نظام هندسى را صورت بندى کردند که هندسه را از سیطره اقلیدس خارج مى کرد. صورت بندى «اقلیدس» از هندسه تا قرن نوزدهم با کاربرد ترین هندسه بود و پنداشته مى شد که نظام اقلیدس تنها نظامى است که امکان پذیر است.

هندسه اقلیدسی مدلی برای ساختار نظریه های علمی بود و نیوتون و دیگر دانشمندان از آن پیروی می کردند.این نوع هندسه بر 5 اصل استوار می شود و بر 5 اصل اثبات می شود.

اصل اول - از هر نقطه می توان خط مستقیمی به هر نقطه ی دیگر كشید.

اصل دوم - هر پاره خط مستقیم را می توان روی همان خط به طور نامحدود امتداد داد.

اصل سوم - می توان دایره ای با هر نقطه دلخواه به عنوان مركز آن و با شعاعی مساوی هر پاره خط رسم كرد.

اصل چهارم - همه ی زوایای قائمه با هم مساوی اند.

اصل پنجم - از یك نقطه خارج یك خط، یك خط و و تنها یك خط می توان موازی با خط مفروض رسم كرد.

هندسه «لباچفسکى» و هندسه «ریمانى» این اصل موضوعه پنجم را مورد تردید قرار دادند. در هندسه «ریمانى» ممکن است خط صافى که موازى خط مفروض باشد از نقطه مورد نظر عبور نکند و در هندسه «لباچفسکى» ممکن است بیش از یک خط از آن نقطه عبور کند. با اندکى  تفکر و حساب مى توان گفت این دو هندسه منحنى وار هستند. بدین معنا که کوتاه ترین فاصله بین دو نقطه یک منحنى است.

هندسه نا اقلیدسی چیست؟ هر هندسه ای غیر از اقلیدسی را نا اقلیدسی می گویند.این گونه هندسه ها تا به حال زیاد بوده است.تفاوت بین هندسه نا اقلیدسی و اقلیدسی تنها در اصل توازی است.در هندسه اقلیدسی به ازای هر نقطه و هر خط نا واقع بر آن یک خط می توان موازی با آن رسم کرد.

نقض این اصل را به دو صورت می توان در نظر گرفت. تعداد خطوط موازی كه از یك نقطه نا واقع بر آن، می توان رسم كرد، بیش از یكی است. و یا اصلاً خطوط موازی وجود ندارند. با توجه به این دو نقض، هندسه های نا اقلیدسی را می توان به دو گروه تقسیم كرد.اما دانشمندی به نام اقلیدس که در اسکندریه زندگی میکرد، هندسه را به صورت یک علم بیان نمود. وی حدود سال ۳۰۰ پیش از میلاد مسیح، تمام نتایج هندسی را که تا آن زمان شناخته بود، گرد آورد و آنها را به طور منظم، در یک مجموعه ۱۳ جلدی قرار داد. این کتابها که اصول هندسه نام داشتند، به مدت ۲ هزار سال در سراسر دنیا برای مطالعه هندسه به کار میرفتند.

براساس این قوانین، هندسه اقلیدسی تکامل یافت. هر چه زمان میگذشت، شاخههای دیگری از هندسه توسط ریاضیدانان مختلف، توسعه مییافت. امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسه تحلیلی و مثلثات، هندسه غیر اقلیدسی و هندسه فضایی مطالعه میکنیم.
خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند این بود که آنان احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند. قبل از اقلیدس، فیثاغورث 572-500) ق.م ( و زنون 490) ق.م.( نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده بودند.
در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام هیپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم بندی بابلیها را برای پیرامون دایره پذیرفت. به این معنی که دایره را به ۳۶۰ درجه و درجه را به ۶۰ دقیقه و دقیقه را به ۶۰ قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی براساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای بعضی قوسها را به دست میداد و این قدیمیترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است.
بعد از آن دانشمندان هندی موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در سده پنجم میلادی آپاستامبا، در سده ششم، آریابهاتا، در سده هفتم، براهماگوپتا و در سده نهم، بهاسکارا در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر بودند.


کلاس بندی هندسه
هنـدسه مقـدماتی به دو شاخه تقسیـم می گردد :
-    هنـدسه مسطحه
-    هندسه فضایی
در هندسه مسطحه ، اشکالی مورد مطالعه قرار میگیرند که فقط دو بعد دارند، هندسه فضایی ، مطالعه اشکال هندسی سه بعدی است. این بخش از هندسه در مورد اشکال سه بعدی چون مکعب ها ،استوانه ها، مخروط ها، کره ها و غیره است.


در هندسه مدرن شاخههای زیر مورد مطالعه قرار میگیرند:
•    هندسه تحلیلی
•    هندسه برداری
•    هندسه دیفرانسیل
•    هندسه جبری
•    هندسه محاسباتی
•    هندسه اعداد صحیح
•    هندسه اقلیدسی
•    هندسه نااقلیدسی
•    هندسه تصویری و ناجابجایی



هندسه اقلیدسی
علومی که از یونان باستان توسط اندیشمندان اسلامی محافظت و تکمیل شد، از قرون یازدهم میلادی به بعد به اروپا منتقل شد، بیشتر شامل ریاضی و فلسفه ی طبیعی بود. فلسفه ی طبیعی توسط کوپرنیک، برونو، کپلر و گالیله به چالش کشیده شد و از آن میان فیزیک نیوتنی بیرون آمد. چون کلیسا خود را مدافع فلسفه طبیعی یونان می دانست و کنکاش در آن با خطرات زیادی همراه بود، اندیشمندان کنجکاو بیشتر به ریاضیات می پرداختند، زیرا کلیسا نسبت به آن حساسیت نشان نمی داد. بنابراین ریاضیات نسبت به فیزیک از پیشرفت بیشتری برخوردار بود. یکی از شاخه های مهم ریاضیات هندسه بود که آن هم در هندسه ی اقلیدسی خلاصه می شد.
در هندسه ی اقلیدسی یکسری مفاهیم اولیه نظیر خط و نقطه تعریف شده بود و پنچ اصل را به عنوان بدیهیات پذیرفته بودند و سایر قضایا را با استفاده از این اصول استنتاج می کردند. اما اصل پنجم چندان بدیهی به نظر نمی رسید. بنابر اصل پنجم اقلیدس از یک نقطه خارج از یک خط، یک خط و تنها یک خط می توان موازی با خط مفروض رسم کرد. برخی از ریاضیدانان مدعی بودند که این اصل را می توان به عنوان یک قضیه ثابت کرد. در این راه بسیاری از ریاضیدانان تلاش زیادی کردند و نتیجه نگرفتند. خیام ضمن جستجوی راهی برای اثبات »اصل توازی «مبتکر مفهوم عمیقی در هندسه شد.
در تلاش برای اثبات این اصل، خیام گزاره هایی را بیان کرد که کاملا مطابق گزاره هایی بود که چند قرن بعد توسط والیس و ساکری ریاضیدانان اروپایی بیان شد و راه را برای ظهور هندسه های نااقلیدسی در قرن نوزدهم هموار کرد. سرانجام و پس از دو هزار سال اصولی متفاوت با آن بیان کردند و هندسه های نااقلیدسی شکل گرفت. بدین ترتیب علاوه بر فلسفه ی طبیعی ریاضیات نیز از انحصار یونانی خارج و در مسیری جدید قرار گرفت و آزاد اندیشی در ریاضیات آغاز گردید.


اصطلاحات بنیادی ریاضیات
طی قرنهای متمادی ریاضیدانان اشیاء و موضوع های مورد مطلعه ی خود از قبیل نقطه و خط و عدد را همچون کمیت هایی در نظر می گرفتند که در نفس خویش وجود دارند. این موجودات همواره همه ی کوششهای را که برای تعریف و توصیف شایسته ی آنان انجام می شد را با شکست مواجه می ساختند. بتدریج این نکته بر ریاضیدانان قرن نوزدهم آشکار گردید که تعیین مفهوم این موجودات نمی تواند در داخل ریاضیات معنایی داشته باشد. حتی اگر اصولاً دارای معنایی باشند.
بنابراین، اینکه اعداد، نقطه و خط در واقع چه هستند در علوم ریاضی نه قابل بحث است و نه احتیاجی به این بحث هست. یک وقت براتراند راسل گفته بود که ریاضیات موضوعی است که در آن نه می دانیم از چه سخن می گوییم و نه می دانیم آنچه که می گوییم درست است.
دلیل آن این است که برخی از اصطلاحات اولیه نظیر نقطه، خط و صفحه تعریف نشده اند و ممکن است به جای آنها اصطلاحات دیگری بگذاریم بی آنکه در درستی نتایج تاثیری داشته باشد. مثلاً می توانیم به جای آنکه بگوییم دو نقطه فقط یک خط را مشخص می کند، می توانیم بگوییم دو آلفا یک بتا را مشخص می کند. با وجود تغییری که در اصطلاحات دادیم، باز هم اثبات همه ی قضایای ما معتبر خواهد ماند، زیرا که دلیل های درست به شکل نمودار بسته نیستند، بلکه فقط به اصول موضوع که وضع شده اند و قواعد منطق بستگی دارند.
بنابراین، ریاضیات تمرینی است کاملاً صوری برای استخراج برخی نتایج از بعضی مقدمات صوری. ریاضیات احکامی می سازند به صورت هرگاه چنین باشد، آنگاه چنان خواهد شد و اساساً در آن صحبتی از معنی فرضها یا راست بودن آنها نیست. این دیدگاه )صوریگرایی( با عقیده ی کهن تری که ریاضیات را حقیقت محض می پنداشت و کشف هندسه های نااقلیدسی بنای آن را درهم ریخت، جدایی اساسی دارد. این کشف اثر آزادی بخشی بر ریاضیدانان داشت.


اشکالات وارد بر هندسه اقلیدسی
هندسه ی اقلیدسی بر اساس پنچ اصل موضوع زیر شکل گرفت :

اصل اول - از هر نقطه می توان خط مستقیمی به هر نقطه ی دیگر کشید.
اصل دوم - هر پاره خط مستقیم را می توان روی همان خط به طور نامحدود امتداد داد.
اصل سوم - می توان دایره ای با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعی مساوی هر پاره خط رسم کرد.
اصل چهارم - همه ی زوایای قایمه با هم مساوی اند.
اصل پنجم - از یک نقطه خارج یک خط، یک خط و و تنها یک خط می توان موازی با خط مفروض رسم کرد.

اصل پنجم اقلیدس که ایجاز سایر اصول را نداشت، به هیچوجه واجد صفت بدیهی نبود. در واقع این اصل بیشتر به یک قضیه شباهت داشت تا به یک اصل. بنابراین طبیعی بود که لزوم واقعی آن به عنوان یک اصل مورد سیوال قرار گیرد. زیرا چنین تصور می شد که شاید بتوان آن را به عنوان یک قضیه نه اصل از سایر اصول استخراج کرد، یا حداقل به جای آن می توان معادل قابل قبول تری قرار داد.
در طول تاریخ ریاضیدانان بسیاری از جمله، خواجه نصیرالدین طوسی، جان والیس، لژاندر، فورکوش بویویی و … تلاش کردند اصل پنجم اقلیدس را با استفاده از سایر اصول نتیجه بگیرنر و آن را به عنوان یک قضیه اثبات کنند. اما تمام تلاشها بی نتیجه بود و در اثبات دچار خطا می شدند و به نوعی همین اصل را در اثباط خود به کار می بردند. دلامبر این وضع را افتضاح هندسه نامید تا اینکه هندسه نااقلیدسی پا به عرصه وجود نهاد.


پیدایش هندسه نااقلیدسی
همه با نام اقلیدس و کتاب جاودانی او اصول Elements  که بحق جزء تاثیرگذارترین و مهمترین کتاب های تاریخ بشر قلمداد می شود، آشنا هستیم. اقلیدس در این کتاب از تعداد انگشت شماری »اصول موضوع «تعداد نسبتا قابل توجهی »قضیه« نتیجه گیری می کند. کار عظیم اقلیدس این بود که چند اصل ساده چند حکم که بی نیاز به توجیه، پذیرفتنی بودند دست چین کرد و از آنها ۴۶۵ گزاره نتیجه گرفت که بسیاری از آنها پیچیده بودند و به طور شهودی، بدیهی نبودند و تمام اطلاعات زمان او را در برداشتند. یک دلیل بر زیبایی » اصول «اقلیدس این است که این همه را از آن اندک نتیجه گرفته است. در میان پنج اصل موضوع اقلیدس اصل پنجم یا اصل توازی که در بالا بدان اشاره شد، موجب زحمت فکری بود: نه چندان ساده بود که بتوان اصل بودنش را بی نگرانی پذیرفت، قابل اثبات هم نبود. از همان آغاز کسانی دچار دودلی شدند و وقت بسیاری را برای اثبات آن یا قرار دادن اصلی به جای آن صرف کردند. این کوشش ها هرچند به نتیجه قطعی نرسیدند، راه را برای رسیدن به نتیجه مهمتری گشودند. در قرن نوزدهم، سه دانشمند در سه کشور گاوس در آلمان، بولیایی در مجارستان و لوباچفسکی در روسیه تقریبا همزمان به کشف هندسه هایی دست یافتند که گاوس بر آنها نام هندسه نااقلیدسی نهاد.
نیکلای ایوانوویچ لوباچفسکی در سال ۱۸۲۹ مقاله ای در زمینه هندسه نااقلیدسی منتشر ساخت. هنگامی که اثر او منتشر شد چندان مورد توجه قرار نگرفت، بیشتر به این علت که به زبان روسی نوشته شده بود و روس هایی که آن را می خواندند، سخت خرده گیری می کردند. وی در سال ۱۸۴۰ مقاله ای به زبان آلمانی منتشر کرد که مورد توجه گاوس قرار گرفت. گاوس در نامه ای به ه. ک. شوماخر از آن مقاله ستایش کرد و در عین حال تقدم خود را در این زمینه تکرار کرد. لوباچفسکی هندسه اش را در آغاز »هندسه انگاری «و بعد »هندسه عام «نام گذارد و موضوع آن را در مقاله هایی که منتشر کرد به طور کامل بسط داد.
لوباچفسکی علنا با تعلیمات و اصول عقاید کانت درباره فضا، به مثابه شهود ذهنی، به مبارزه برخاست و در سال ۱۸۳۵ نوشت: تلاش های بی ثمری که از زمان اقلیدس تاکنون صورت گرفته است... این بدگمانی را در من برانگیخت که حقیقت... در داده ها وجود ندارد و برای اثبات آن مثل مورد قوانین دیگر طبیعت کمک های تجربی، مثلا مشاهدات نجومی نیاز است. اریک تمپل بل در کتاب »مردان ریاضیات «لوباچفسکی را آزادکننده بزرگ دانش هندسه نام داده است. بل می گوید نام او باید برای هر بچه مدرسه ای به اندازه نام های میکل آنژ یا ناپلئون آشنا باشد. بدبختانه از لوباچفسکی در دوران حیاتش تجلیل نشد.
و در حقیقت در ۱۸۴۶ به رغم بیست سال خدمت برجسته ای که با عنوان استاد و رئیس انجام داده بود، از دانشگاه قازان اخراج شد. او مجبور شد در سال پیش از مرگش، به علت نابینایی آخرین کتابش را تقریر کند تا برایش بنویسند.


هندسه های نااقلیدسی
اساساً هندسه نااقلیدسی چیست؟ هر هندسه ای غیر از اقلیدسی را نا اقلیدسی می نامند. از این گونه هندسه ها تا به حال زیاد شناخته شده است. اختلاف بین هندسه های نا اقلیدسی و اقلیدسی تنها در اصل توازی است. در هندسه اقلیدسی به ازای هر خط و هر نقطه نا واقع بر آن یک خط می توان موازی با آن رسم کرد.
نقیض این اصل را به دو صورت می توان در نظر گرفت. تعداد خطوط موازی که از یک نقطه نا واقع بر آن، می توان رسم کرد، بیش از یکی است. و یا اصلاً خطوط موازی وجود ندارند. با توجه به این دو نقیض، هندسه های نا اقلیدسی را می توان به دو گروه تقسیم کرد.


یک - هندسه های هذلولوی
در هندسه نااقلیدسی، نقیض اصل توازی را به عنوان اصل موضوع مفروض می گیریم. یعنی این گزاره را که »از یک نقطه خارج از یک خط راست بیش از یک نقطه می توان به موازات آن رسم کرد «به جای اصل موضوع توازی اقلیدس قرار می دهیم. این امر به هندسه حیرت انگیزی منجر می شود که با هندسه اقلیدسی تفاوت اساسی دارد. به قول گاوس قضایای این هندسه به باطن ما می مانند و شاید در نظر فردی مبتدی بی معنی جلوه کنند. ولی تفکر پیگیر و آرام آشکار می سازد که هیچ چیز ناممکن در آنها نیست، مثلا، سه زاویه مثلث تا بخواهید می توانند کوچک شوند به شرطی که اضلاع آن به اندازه کافی بزرگ شوند و تازه اضلاع مثلث هرچه باشند، مساحت مثلث هیچ گاه نمی تواند از حد معینی زیادتر شود و در واقع هیچ گاه هم نمی تواند به آن برسد.
گاوس در نامه تاریخی خود به دوست ریاضیدانش »تاورینوس «می گوید: همه تلاش های من برای یافتن یک تناقض یا یک ناسازگاری در این هندسه نااقلیدسی به شکست انجامیده است. چیزی که در آن با ادراک ما مغایرت دارد این است که اگر راست باشد، باید در فضای آن یک اندازه خطی وجود داشته باشد که خود به خود معین است اگر چه ما آن را نمی دانیم... هرگاه این هندسه نااقلیدسی راست باشد و بتوان آن مقدار ثابت را با همان کمیاتی که به هنگام اندازه گیری هایمان بر روی زمین و در آسمان بدان ها برمی خوریم، مقایسه کنیم آن گاه ممکن است آن مقدار ثابت را پس از تجربه تعیین کرد. در نتیجه، من گاهی به شوخی آرزو کرده ام که هندسه اقلیدسی راست نبود، چون در آن صورت ما از پیش انگاره مطلقی برای اندازه گیری داشتیم.
در هندسه هذلولی می توان ثابت کرد که اگر دو مثلث متشابه باشند، آنگاه قابل انطباق اند. به عبارت دیگر ملاک»  ززز« برای قابلیت انطباق درست است در این هندسه، هندسه هذلولی ممکن نیست مثلثی را بدون انداختن از شکل طبیعی بزرگ یا کوچک کرد. در نتیجه در یک جهان هذلولی، عکاسی ذاتا جنبه فراواقعگرایی سوررئالیستی پیدا خواهد کرد یک نتیجه تکان دهنده قضیه مذکور این است که در هندسه هذلولی یک پاره خط می تواند به کمک یک زاویه مشخص شود. یعنی یک زاویه از یک مثلث متساوی الساقین، طول یک ضلع را به طور منحصر به فرد معین می سازد. همان طور که در نامه گاوس به تاورینوس نیز ذکر گردید، اغلب با بیان اینکه هندسه هذلولی واحد مطلق طول دارد، این نکته را هیجان انگیزتر می کنند. اگر هندسه جهان مادی هندسه هذلولی بود لازم نبود واحد طول با دقت در دفتر استانداردها نگاهداری شود.
در هندسه اقلیدسی، تقسیم هر زاویه به سه قسمت برابر، به وسیله ستاره خط کش غیرمدرج و پرگار تنها، نشدنی است.
در هندسه هذلولی، علاوه بر آنکه این تقسیم نشدنی است، تقسیم هر پاره خط به سه قسمت برابر نیز به وسیله ستاره و پرگار تنها، نشدنی است در هندسه اقلیدسی، رسم چهارضلعی منتظمی که مساحت آن برابر مساحت دایره مفروضی باشد، شدنی نیست ولی در هندسه هذلولی این کار شدنی است.


دو - هندسه های بیضوی
 در سال ۱۸۵۴ فریدریش برنهارد ریمان نشان داد که اگر نامتناهی بودن خط مستقیم کنار گذاشته شود و صرفاً بی کرانگی آن مورد پذیرش واقع شود، آنگاه با چند جرح و تعدیل جزیی اصول موضوعه دیگر، هندسه سازگار نااقلیدسی دیگری را می توان به دست آورد. پس از این تغییرات اصل توازی هندسه بیضوی بصورت زیر ارایه گردید.
اصل توازی هندسه بیضوی - از یک نقطه ناواقع بر یک خط نمی توان خطی به موازات خط مفروض رسم کرد.
یعنی در هندسه بیضوی، خطوط موازی وجود ندارد. با تجسم سطح یک کره می توان سطحی شبیه سطح بیضوی در نظر گرفت. این سطح کروی را مشابه یک صفحه در نظر می گیرند. در اینجا خطوط با دایره های عظمیه کره نمایش داده می شوند. بنابراین خط ژیودزیک یا مساحتی در هندسه بیضوی بخشی از یک دایره عظیمه است.
در هندسه بیضوی مجموع زوایای یک مثلث بیشتر از ۱۸۰ درجه است. در هندسه بیضوی با حرکت از یک نقطه و پیمودن یک خط مستقیم در آن صفحه، می توان به نقطه ی اول باز گشت. همچنین می توان دید که در هندسه بیضوی نسبت محیط یک دایره به قطر آن همواره کمتر از عدد پی است.


مفهوم و درک شهودی انحنای فضا
سوال اساسی این است که کدام یک از این هندسه های اقلیدسی یا نا اقلیدسی درست است؟
پاسخ صریح و روشن این است که باید انحنای یک سطح را تعیین کنیم تا مشخص شود کدام یک درست است. بهترین دانشی کا می تواند در شناخت نوع هندسه ی یک سطح مورد استفاده و استناد قرار گیرد، فیزیک است. یک صفحه ی کاغذ بردارید و در روی آن دو خط متقاطع رسم کنید. سپس انحنای این خطوط را در آن نقطه تعیین کرده و با توجه به تعریف انحنای سطح حاصلضرب آن را به دست می آوریم. اگر مقدار انحنا برابر صفر شد، صفحه اقلیدسی است، اگر منفی شد می گوییم صفحه هذلولوی است و در صورتی که مثبت شود، ادعا می کنیم که صفحه بیضوی است .
در کارهای معمولی مهندسی نظیر ایجاد ساختمان یا ساختن یک سد بر روی رودخانه، انحنای سطح مورد نظر برابر صفر است، به همین دلیل در طول تلریخ مهندسین همواره از هندسه اقلیدسی استفاده کرده اند و با هیچگونه مشکلی هم مواجه نشدند. یا برای نقشه برداری از سطح یک کشور اصول هندسه ی اقلیدسی را بکار می برند و فراز و نشیب نقاط مختلف آن را مشخص می کنند. در این محاسبات ما می توانیم از خطکش هایی که در آزمایشگاه یا کارخانه ها ساخته می شود، استفاده کنیم. حال سیوال این است که اگر خطکش مورد استفاده ی ما تحت تاثیر شرایط محیطی قرار بگیرد چه باید کرد؟ اما می دانیم از هر ماده ای که برای ساختن خطکش استفاده کنیم، شرایط فیزیکی محیط بر روی آن اثر می گذارد. البته با توجه با تاثیر محیط بر روی خطکش ما تلاش می کنیم از بهترین ماده ی ممکن استفاده کنیم. بهمین دلیل چوب از لاستیک بهتر است و آهن بهتر از چوب است.
اما برای مصافتهای دور نظیر فواصل نجومی از چه خطکشی )متری (می توانیم استفاده کنیم؟ طبیعی است که در اینجا هیچ خطکشی وجود ندارد که بتوانیم با استفاده از آن فاصله ی بین زمین و ماه یا ستارگان را اندازه بگیریم. بنابراین باید به سایر امکاناتی توجه کنیم که در عمل قابل استفاده است. اما در اینجا چه امکاناتی داریم؟ بهترین ابزار شناخته شده امواج الکترومغناطیسی است. اگر مسیر نور در فضا خط مستقیم باشد، در اینصورت با جرات می توانیم ادعا کنیم که فضا اقلیدسی است. برای پی بردن به نوع انحنای فضا باید مسیر پرتو نوری را مورد بررسی قرار دهیم .
اما تجربه نشان می دهد که مسیر نور هنگام عبور از کنار ماده یعنی زمانی که از یک میدان گرانشی عبور می کند، خط مستقیم نیست، بلکه منحنی است. بنابراین فضای اطراف اجسام اقلیدسی نیست. به عبارت دیگر ساختار هندسی فضا نااقلیدسی است.


انحنای سطح یا انحنای گایوسی
اگر خط را راست فرض کنیم نه خمیده، چنانچه ناگزیر باشیم یک انحنای عددی k به خطی نسبت دهیم برای خط راست خواهیم داشت  k=o انحنای یک دایره به شعاع r برابر است با k=۱/r.
تعریف می کنند. همچنین منحنی هموار، منحنی ای است که مماس بر هر نقطه اش به بطور پیوسته تغییر کند. به عبارت دیگر منحنی هموار یعنی در تمام نقاطش مشتق پذیر باشد.
برای به دست آوردن انحنای یک منحنی در یک نقطه، دایره بوسان آنرا در آن نقطه رسم کرده، انحنای منحنی در آن نقطه برابر با انحنای دایره ی بوسان در آن نقطه است. دایره بوسان در یک نقطه از منحنی، دایره ای است که در آن نقطه با منحنی بیشترین تماس را دارد. توجه شود که برای خط راست شعاع دایره بوسان آن در هر نقطه واقع بر آن بینهایت است.

برای تعیین انحنای یک سطح در یک نقطه، دو خط متقاطع مساحتی در دو جهت اصلی در آن نقطه انتخاب کرده و انحنای این دو خط را در آن نقاط تعیین می کنیم. فرض کنیم انحنای این دو خط
k۱=۱/R۱ and k۲=۱/R۲
باشند. آنگاه انحنای سطح در آن نقطه برابر است با حاصلضرب این دو انحنا، یعنی :
k=۱/R۱R۲
انحنای صفحه ی اقلیدسی صفر است. همچنین انحنای استوانه صفر است:
k=o
برای سطح هذلولوی همواره انحنای سطح منفی است :
k<>
برای سطح بیضوی همواره انحنا مثبت است :
k>o
نتیجه
شاید به نظر برسد که چون ریاضیات، برخلاف علوم طبیعی مثل فیزیک، نجوم و شیمی، با مشاهدات تجربی در تماس نیست؛ هیچ¬گاه با اعوجاج و بحران مواجه نخواهد شد؛ اما همان¬طور که دیدیم, اعوجاج در ریاضیات از نوع دیگری است؛ مثلاً تردید دربارة اصل بودن اصل توازی همچون اعوجاجی در هندسه آشکار شد و با مقاومت در برابر کوششهای ریاضیدانان جهت اثبات آن, جامعة ریاضیدانان را با بحران مواجه نمود.
اما نکته بسیار مهم این است که این اعوجاج و بحران در پی آن در بنیادیترین سطح هندسه به طرد هندسة اقلیدسی نیانجامید؛ بلکه به مدت بیش از دو هزار سال, تسلط خود را نه تنها بر هندسه, بلکه به علوم دیگر مثل نجوم، فیزیک و حتی فلسفه حفظ نمود. چرا؟ زیرا اگر هندسهدانان، هندسة اقلیدسی را به سبب اعوجاجی که در اصول بنیانیاش بود، رها میکردند، هیچ نظریة جانشینی نداشتند. در این صورت, تکلیف فعالیت پژوهشی آنها در هندسه چه می¬شد؟ همین تعلقات حرفهای سبب شد که هندسة اقلیدسی بیش از دو هزار سال تنها پارادایم حاکم در حوزة ریاضیات باشد. زمانی که بویوئی، گاوس و لباچفسکی هندسة جدید را مطرح کردند، نظریة رقیبی برای هندسة اقلیدسی ظاهر شده بود که میتوانست جانشین آن شود. همین، موجبات انقلاب نااقلیدسی را فراهم نمود. اما دیدیم که تغییر حمایت از پارادایم اقلیدسی به نااقلیدسی از جانب یکایک ریاضیدانان ناشی از برهانهای صرفاً منطقی دربارة سازگاری هندسی نااقلیدسی نبود؛ زیرا جامعة ریاضی قرن نوزدهم به مدت 26 سال از زمانی که لباچفسکی آن را منتشر کرد تا زمان مرگ گاوس از این برهانها آگاهی داشت, اما هیچ¬گاه آن را جدی نگرفت. آنچه سبب پذیرش هندسة نااقلیدسی شد, عاملی بود ورای استدلالهای ریاضی و آن اینکه شخصی همچون گاوس شهزادة ریاضیدانان, در نامههایش از آن طرفداری کرده بود. در واقع, ریاضیدانان نیز همچون "دانشمندان به دلایل گوناگون طرفدار پارادایم جدید میشوند و معمولاً در آن واحد بنابر وجود چند دلیل چنین میکنند. بعضی ازاین دلایل - مثلاً خورشیدپرستی که کپلر را یکی از کوپرنیکیان ساخت - کاملاً در خارج قلمرو آشکار علم قرار دارد. بعضی دیگر وابسته به مزاج شخص و زندگی¬نامه و شخصیت اوست - حتی ملیّت یا شهرت سابق شخص نوآور و استادان وی گاه میتواند نقش مؤثر ایفا کند" (kuhn;1970, pp.152,153). شهرت و اعتبار گاوس سبب شد که تعدادی از بهترین ریاضیدانان که مرجعیت جامعة ریاضی به عهدهشان بود، از هندسة نااقلیدسی حمایت کنند و این سبب پذیرش این هندسه شد. به قول چالمرز (A.F. Chalmers): "انقلاب علمی عبارت است از طرد یک پارادایم و قبول پارادایمی جدید، نه از سوی یک دانشمند به تنهایی؛ بلکه از سوی جامعة علمی مربوطه در تمامیت آن) " چالمرز، 1374، ص (117.
بنابراین آنچه توسط استقرارگرایان و ابطالگرایان به عنوان منطق اکتشافات علمی گفته میشود، باید به¬طور جدی مورد تجدیدنظر قرار گیرد؛ زیرا همان¬طور که دیدیم, عملکرد دانشمندان و حتی ریاضیدانان در رسیدن به نظریههای علمی جدید، رفتاری کاملاً بشری است که ما میتوانیم در حوزههای دیگر زندگی¬شان ببینیم. همان¬طور که هری کالینز (Harry Collins) و ترور پینچ (Trevor Pinch) دو جامعهشناس علم معاصر، میگویند: "آنچه پژوهشهای موضعی ما نشان میدهد, این است که هیچ منطق اکتشاف علمی وجود ندارد و یا بلکه اگر چنین منطقی وجود دارد، آن منطق، منطق زندگی روزمره است "





داغ کن - کلوب دات کام
نظرات() 

نویسنده :آراد صارمی
تاریخ:دوشنبه 15 اسفند 1390-11:07 ب.ظ

سرعت نور و چالش ها و نظریه ها

سرعت نور، چالش ها و نظریه ها

مقدمه

نور و مسائل مربوط به آن همواره یکی از مباحث مهم و مورد توجه فیزیکدانان بوده و هست. نحستین تلاش های علمی در این زمینه از زمان گالیله آغاز شد. وی به اتفاق همکارش برای اندازه گیری سرعت نور اقدام کردند. روش کار به این طریق بود که همکار گالیله در حالیکه فانوسی در دست داشت بالای تپه ای ایستاده بود و گالیله بالای تپه ای دیگر. هر دو با خود فانوسی داشتند که روی آن را پوشانده بودند. دستیار وی به مجرد آنکه نور گالیله را می دید، با برداشتن پرده از روی فانوس خود به گالیله علامت می داد. گالیله این آزمایش را با فواصل بیشتر و بیشتر تکرار کرد، اما نتوانست اختلاف زمانی بین برداشتن پرده از روی فانوس خود و دستیارش به دست آورد و سرانجام گفت که سرعت نور خیلی زیاد است .

نخستین بار سرعت نور در سال 1676 توسط رومر (Romer) با استفاده از ماه گرفتگی محاسبه شد و معلوم گشت که سرعت نور نیز محدود است. عددی را که رومر به دست آورد 215 هزار کیلومتر بر ثانیه بود. این عدد آنقدر بزرگ بود که معاصران وی آن را باور نمی کردند در سال 1726 برادلی با استفاده از تغییر وضعیت ستارگان نسبت به زمین سرعت نور را محاسبه کرد و عدد سیصد هزار کیلومتر بر ثانیه را به دست آورد.

نخستین بار فیزیو با ستفاده از روش غیر نجومی و اصلاح روش گالیله سرعت نور را اندازه گیری کرد و مقدار آن را سیصد و سیزده هزار کیلومتر بر ثانیه به دست آورد. تمام این نتایج به صورت تجربی به دست آمده بود و از پشتوانه ی نظری بی نصیب بود و استناد به این اندازه گیری نمی توانست به یک نتیجه ی جهان شمول برسد. به عنوان نمونه آیا اندازه ی سرعت های به دست آمده زمینی و سماوی باید یکسان باشد یا خیر؟

در دهه ی 1860 کلارک ماکسول با استفاده از قوانین الکترومغناطیس که خود معادلات آن را نوشته بود دیدگاهی کلی و جهان شمول در مورد سرعت امواج الکترومغناطیسی که نور بخش کوچکی از آن بود، ارائه کرد.

امواج الکترومغناطیسی

امواج الکترومغناطیسی که بطور نظری در سال 1864 توسط معادلات کلارک ماکسول پیشگویی شد.
سرعت نور (امواج الکترومغناطیسی) در خلاء ثابت است. اما سرعت ثابت امواج الکترمغناطیسی بایستی نسبت به یک دستگاه مقایسه می شد، و این دستگاه همان دستگاه اتر بود. یعنی اتر ساکن مطلق فرض می شد و تمام اجسام نسبت به آن در حرکت بودند و سرعت امواج الکترومغناطیسی و در حالت خاص سرعت نور نسبت به اتر ثابت بود. این نظریه در حالی شکل گرفت که نسبیت گالیله ای نیز معتبر و بی نقص تصور می شد. بنابراین اگر سرعت نور نسبت به یک دستگاه لخت c باشد و دستگاه با سرعت v نسبت به اتر در حرکت باشد، در آنصورت سرعت نور نسبت به اتر w برابر خواهد شد با :

w=c+v

چنانچه نور در جهت مخالف دستگاه حرکت کند، آنگاه خواهیم داشت :

w=c-v

بر این اساس ماکسول به فکر محاسبه سرعت حرکت منظومه ی شمسی نسبت به اتر افتاد. وی در سال 1879 طی نامه ای که برای تاد در آمریکا نوشت، طرحی را برای اندازه گیری سرعت حرکت منظومه ی شمسی نسبت به اتر پیشنهاد کرد. یک آمریکایی به نام مایکلسون این طرح را دنبال کرد و برای انجام آزمایش تداخل سنجی نیز ساخت و در سال 1880 آزمایش کرد.

آنچه ازآزمایش مایکلسون به دست آمد بسیار گیج و ناراحت کننده بود. اولین فکری که قوت گرفت این بود که باید اشکال از معادلات ماکسول باشد که تنها بیست سال از عمر آن می گذشت. یعنی باید آنها را طوری تغییر داد تا با نسبیت گالیله ای سازگار باشد. اما آزمایش فیزو و سایر نتایج حاصل از حرکت نور و امواج الکترومغناطیسی آنها را تایید می کرد.

هر تلاشی که برای توجیه علت شکست نتیجه ی آزمایش مایکلسون انجام می دادند، با شکست رو به رو می شد. در این میان دو نظریه از بقیه حالب تر به نظر می رسید.

یکی کشش اتری که به موجب آن جارجوب اتر بطور موضعی به کلیه ی اجسام با جرم محدود متصل است. این نظریه هیچ اصلاحی را در قوانین نیوتن، نسبیت گالیله ای و معادلات ماکسول لازم نمی دانست. اما این نظری با کجراهی نور ستارگان ناسازگار بود.

نظریه دوم نظریه گسیلی بود که طبق آن معادله های ماکسول را باید طوری اصلاح می کردند که سرعت نور با سرعت چشمه ی صادر کننده بستگی داشته باشد. این نظریه نیز با نور واصل از ستارگان دوتایی ناسازگار بود.

در این اثنا انیشتین نظریه ی انقلابی نسبیت را ارائه کرد. مسئله نسبی بودن سرعت ، از نظر انیشتین ، تا جاییکه به اعتبار اصل نسبیت مربوط می شد به اتر و حرکت سوقی ربطی نداشت. طبق اصل نسبیت : قوانین طبیعت در تمام چارچوب های مرجع لخت یکسان اند. انیشتین پس از مطرح کردن اصل نسبیت ، به دو اصل موضوع بنیادی زیر پرداخت:

1- قوانین فیزیکی در تمام دستگاه های لخت یکسان است.

2 - سرعت نور در خلاء ، در هر چارچوب لختی که اندازه گیری می شود با صرفه نظر از حرکت منبع نور ، معادل c است.

اصل موضوعی دوم انیشتین ، در واقع اندیشه مکانیکی نیوتنی و سینماتیکی گالیله ای را رد می کند . طبق اصول سینماتیک ، اگر دو جسم متحرک با سرعت ثابت ، در حال حرکت به سمت یکدیگر باشند ، سرعت هر یک از آن ها در نقطه بر خورد ، برابر با مجموع سرعتشان است.

اما درنسبیت انیشتین اینگونه نیست . اگر در نقطه ای نوری را گسیل کنیم ، ناظر ساکن و ناظر متحرک که با سرعت v در حال حرکت به سمت منبع است ، سرعت نور را c محاسبه می کنند.

نسبیت علاوه بر آنکه بخوبی توانست علت شکست نتیجه ی آزمایش مایکلسون را توجیه کند، از تمام آزمایش های مربوط به آن نیز با موفقیت بیرون آمد. علاوه بر آن به نتایج گرانقدری رسید که همه ی اندیشه بشریت را تحت ناثیر قرار داد.

همجنانکه که در بالا بیان شد، ثابت بودن سرعت نور به عنوان یک اصل موضوع مطرح شده است. اصول موضوع در هر زمینه ی علمی دارای این ویژگی هستند که اعتبار خود را تا زمانیکه با مورد نقض رو به رو نشده اند، حفظ می کنند و به محض مواجه با یک تناقض از اعتبار ساقط می شوند. ار آن جاییکه فیزیک یک دانش تجربی است، الزاماً بایستی ابطال اصولش نیز بر پایه تجربه باشد.

علاوه بر مشاهدات تجربی که می تواند اصول موضوعی را به چالش بکشد، سازگاری این اصول با سایر نظریه هایی که قادر به توجیه پدیده های فیزیکی هستند نیز از اهمیت خاصی برخور دار است. تجارب کیهانی دهه ی 1970 به بعد اصل ثابت بودن سرعت نور را با مشکل جدی مواجه ساخته است که در زیر به برخی از آنها اشاره می شود.

سرعت نور ثابت نیست


تئوری جدیدی كه دانشمندان استرالیایی مطرح كرده‌اند و سرعت نور را ثابت نمی‌دانند مهمترین تئوری فیزیك نوین یعنی نسبیت انیشتین را از اریكه قدرت به پایین می‌‌كشد.

تیم فیزیك‌دانان دانشگاه مك كواری سیدنی در استرالیا به ریاست پال دیویز Paul Davies احتمال آن كه سرعت نور طی میلیاردها سال كندتر شده باشد را مطرح ساخته‌اند. در این صورت فیزیكدانان باید در مورد بسیار از فرضیه‌ها و تئوریهای پایه بویژه در مورد قوانین حاكم بر عالم تجدید نظر كنند. دیویز در مصاحبه با رویتر گفت: «معنی این تئوری جدید آن است كه باید از خیر تئوری نسبیت و فرمول E=mc2 و این جور چیزها بگذریم البته نه به این معنی كه كتابها را در این مورد دور بیندازیم؛ همیشه تحولات علمی تئوریهای قدیمی‌تر را در خود هضم می‌‌كند‌».

نتایج تحقیقات این تیم در مجله نیچر Nature به چاپ رسیده است. جان وب اختر شناس دانشگاه نیوساوث ویلز با ارائه تئوری خود براساس شواهدی كه به دست آمده است ادعا می‌‌كند كه سرعت نور می‌‌تواند ثابت نباشد، كه این موضوع معمای لاینحلی را پیش روی فیزیكدانان و اخترشناسان قرار داده است. براساس یافته‌های وب، نوری كه از كوثر- Quasar شی‌ء شبیه به ستاره در آسمان - در طی دوازده میلیارد سال سفر خود تا رسیدن به زمین فوتونهایی از سحابی بین ستاره‌ای دریافت كرده است كه با فوتونهایی كه تاكنون می‌‌شناختیم تفاوت دارد.

دیویز در توضیح یافته‌های وب می‌‌گوید: مشاهدات وب به معنی آن است كه ساختار اتمهایی كه از نور كوثر ساطع می‌‌شود تفاوت بسیار جزیی اما با اهمیت ساختار اتمهای انسان دارد. دلیل این تفاوت فقط می‌‌تواند از دو چیز ناشی شود: یا بخاطر سرعت نور و یا بخاطر تخلیه الكترونی (Electron Charge).

از سویی دو قانون در قوانین فیزیك كیهانی مطرح است كه سالهاست مورد پرسش قرار گرفته است. براساس این دو قانون نه تخلیه الكترونی و نه سرعت نور قابل تغییر نیستند. اما باید برای مشاهدات وب توضیحی داد: یا این مشاهدات اشتباه است و یا یكی از دو قانون ثبات سرعت نور و یا تخلیه الكترونی قابل تكیه نیست. تیم دیویز بنا را براین گذاشتند كه مشاهدات وب درست بوده و یكی از این دو قانون ممكن است آنطور كه تصور می‌‌شد غیرقابل تغییر نباشد.

به این ترتیب این تیم به مطالعه سیاه چاله‌ها روی آوردند. سیاه چاله‌ها توده‌های عظیم و اسرارآمیزی هستند كه ماده را می‌‌بلعند و حتی نور نیز از چنگال این مكنده در امان نیست. اگر قرار باشد به قانون دوم ترمودینامیك- كه خود یك دگماتیسم دیگر در فیزیك است- اعتقاد داشته باشیم در این صورت تغییر در قانون ثبات تخلیه الكترونی قانون دوم ترمودینامیك را در هم خواهد ریخت به همین دلیل یك گزینه باقی ماند و آن بررسی امكان متغیر بودن سرعت نور است.

گرچه هنوز مطالعات به اندازه كافی نیست و مشاهدات وب از نور كوثر برای درهم ریختن تئوری‌های موجود كافی نیست اما مطالعه در این زمینه از چندی پیش آغاز شده است. ا ز جمله می‌‌توان به مقاله‌هایی كه در مجله Physical Review Letters منتشر شده مراجعه كرد و گرچه بسیاری از وفاداران به تئوریهای موجود سعی دارند مشاهدات وب و دیویز را اشتباه مشاهده‌ای و اشتباه محاسباتی و آماری جلوه دهند، اما بحثی كه در این زمینه آغاز شده است روز به روز دامنه‌دارتر می‌‌شود و به همان اندازه‌ای كه خود كیهان سئوالات لاینحل باقی گذاشته مشاهدات اخیر نیز بسیاری از تئوریها را به چالش كشانده است.

در این وضعیت باید روشن شود به چه چیزهایی از تئوری گذشته می‌‌توان تكیه كرد و باید دید تئوریهای جدید از عهده پاسخگویی به بسیاری از پرسشها بر می‌‌آیند یا خیر. در واقع از نظر دیویز همان بلایی كه تئوری نسبیت انیشتین و فیزیك كوانتوم بر فیزیك قرن نوزدهم وارد آورد حالا خود شاهد آن خواهد بود كه تئوریهای جدید پایه و اساس این تئوریها را متزلزل خواهد كرد. حداقل دستاورد این مشاهدات این است كه در بررسی ساختار كیهان و این كه از كجا نشأت گرفته و به كجا تكامل پیدا می‌‌كند یك گام رو به جلو برداشته شده است.

تئوری نسبیت می‌‌گوید كه سرعت هیچ چیز از نور فراتر نمی‌رود (سرعت نور در خلأ، تقریباً000ر300 كیلومتر در ثانیه است). آرزوی انسان فراتر رفتن از این سرعت است و این آرزوها در فیلمهایی مثل "Star Trek" انعكاس یافته‌اند. حتی اگر انسان ابزاری بسازد كه بتواند با سرعت نور حركت كند برای عبور از كهكشان راه شیری یكصدهزار سال وقت لازم است.





داغ کن - کلوب دات کام
نظرات() 

نویسنده :آراد صارمی
تاریخ:دوشنبه 15 اسفند 1390-10:52 ب.ظ

نظریه عام و خاص آلبرت انیشتین

نظریه عام و خاص آلبرت انیشتین

تئوری جاذبه ای که نیوتن (Newton) ارائه کرد خیلی زود بدون تقریبآ هیچ سئوالی جدی مورد پذیرش دانشمندان قرار گرفت. تا اینکه در اویل قرن بیستم آلبرت اینشتین (Albert Einstein 1879-1955) با ارائه نظریه نسبیت خاص در سال 1905 و نظریه نسبیت عام در سال 1915 نه تنها قوانین فیزک و جاذبه عمومی نیوتن بلکه پایه های فیزیک عصر خود را لرزاند.

هر چند قبل از او ماکس پلانک (Max Planck) با ارائه نظریه کوانتم (Quantum) تا حد زیادی فیزیک نیوتنی را زیر سئوال برده بود اما اینشتین با انتشار مقاله های خود راجع به تئوری نسبیت رسما" ثابت کرد که فیزیک نیوتن در حالت های بسیار خاص پاسخگوی پدیده های فیزیکی می باشد.

وی بعد ها با فعالیت هایی که در سالهای 1920 تا 1925 انجام داد بعنوان یکی از پایه گذاران اصلی مکانیک کوانتم نیز شناخته شد.

آلبرت اینشتین طی سالهای 1930 الی 1955 به بررسی رفتار عالم هستی پرداخت و مقالاتی در این باره منتشر کرد. او می خواست با ترکیب تئوری نسبیت و کوانتم به تئوری جامعی برای مدل کردن جهان هستی دست پیدا کند که زندگی این فرصت را برای تکمیل کار به او نداد. اما بعد ها در سال 1933 هابل (Hubble) و هومنسون (Humanson) با تحقیقاتی که در زمینه کهکشانهای مختلف انجام دادند بر نظریه های او را جع به جهان هستی صحه گذاردند.

آلبرت انیشتین دو نظریه دارد. نسبیت خاص را در سن 25 سالگی بوجود آورد و ده سال بعد توانست نسبیت عام را مطرح کند.

نظریه‌های آلبرت انیشتین(نسبیت عام و خاص)

آلبرت انیشتین دو نظریه دارد. نسبیت خاص را در سن 25 سالگی بوجود آورد و ده سال بعد توانست نسبیت عام را مطرح کند.

نسبیت خاص بطور خلاصه تنها نظریه ایست که در سرعتهای بالا ( در شرایطی که سرعت در خلال حرکت تغییر نکند--سرعت ثابت) میتوان به اعداد و محاسباتش اعتماد کرد. جهان ما جوریست که در سرعتهای بالا از قوانین عجیبی پیروی می کند که در زندگی ما قابل دیدن نیستند. مثلا وقتی جسمی با سرعت نزدیک سرعت نور حرکت کند زمان برای او بسیار کند می گذرد. و همچنین ابعاد این جسم کوچک تر میشود. جرم جسمی که با سرعت بسیار زیاد حرکت می کند دیگر ثابت نیست بلکه ازدیاد پیدا می کند. اگر جسمی با سرعت نور حرکت کند، زمان برایش متوقف می شود، طولش به صفر میرسد و جرمش بینهایت میشود.

نسبیت عام برای حرکتهایی ساخته شده که در خلال حرکت سرعت تغییر می کند یا باصطلاح حرکت شتابدار دارند. شتاب گرانش زمین
g که همان عدد 9.81m/sاست نیز یک نوع شتاب است. پس نسبیت عام با شتابها کار دارد نه با حرکت. نظریه ایست راجع به اجرام ی که شتاب ثقل دارند. کلا هرجا در عالم، جرمی در فضا ی خالی باشد حتما یک شتاب جاذبه در اطراف خود دارد که مقدار عددی آن وابسته به جرم آن جسم می باشد. پس در اطراف هر جسمی شتابی وجود دارد. نسبیت عام با این شتابها سر و کار دارد و بیان می کند که هر جسمی که از سطح یک سیاره دور شود زمان برای او کند تر میشود. یعنی مثلا، اگر دوربینی روی ساعت من بگذارند و از عقربه های ساعتم فیلم زنده بگیرند و روی ساعت آدمی که دارد بالا میرود و از سیاره ی زمین جدا میشود هم دوربینی بگذارند و هردو فیلم را کنار هم روی یک صفحه ی تلویزیونی پخش کنند، ملاحظه خواهیم کرد که ساعت من تند تر کار می کند. نسبیت عام نتایج بسیار عجیب و قابل اثبات در آزمایشگاهی دارد. مثلا نوری که به اطراف ستاره ای سنگین میرسد کمی بسمت آن ستاره خم میشود. سیاهچاله ها هم بر اساس همین خاصیت است که کار می کنند. جرم انها بقدری زیاد و حجمشان بقدری کم است که نور وقتی از کنار آنها می گذرد به داخل آنها می افتد و هرگز بیرون نمی آید.


فرمول معروف آلبرت انیشتین (دست خط خود آلبرت انیشتین)


نظریه نسبیت عام
همه ما برای یک‌بار هم که شده گذرمان به ساعت‌فروشی افتاده است و ساعتهای بزرگ و کوچک را دیده ایم که روی ساعت ده و ده دقیقه قرار دارند. ولی هیچگاه از خودمان نپرسیده ایم چرا؟ آلبرت انیشتین در نظریه نسبیت خاص با حرکت شتابدار و یا با گرانش کاری نداشت. اولین موضوعات را در نظریه نسبیت عام خود که در 1915 انتشار یافت مورد بحث قرار داد.نظریه نسبیت عام دید گرانشی را بکلی تغییر داد و در این نظریه جدید نیرو ی گرانش را مانند خاصیتی از فضا در نظر گرفت نه مانند نیرو یی بین اجرام ، یعنی برخلاف آنچه که اسحاق نیوتن گفته بود !در نظریه او فضا در مجاورت ماده کمی انحنا پیدا می‌کرد. در نتیجه حضور ماده اجرام ، مسیر یا به اصطلاح کمترین مقاومت را در میان منحنیها اختیار می‌کردند. با این که فکر آلبرت انیشتین عجیب به نظر می‌رسید می‌توانست چیزی را جواب دهد که قانون ثقل نیوتن از جواب دادن آن عاجز می ماند.سیاره اورانوس در سال 1781 میلادی کشف شده بود و مدارش به دور خورشید اندکی ناجور به نظر می‌رسید و یا به عبارتی کج بود !

نیم قرن مطالعه این موضوع را خدشه ناپذیر کرده بود.بنابر قوانین اسحاق نیوتن می بایست جاذبه ای برآن وارد شود. یعنی باید سیاره ای بزرگ در آن طرف اورانوس وجود داشته باشد تا از طرف آن نیرو یی بر اورانوس وارد شود.در سال 1846 میلادی اختر شناس آلمانی دوربین نجومی خودش را متوجه نقطه ای کرد که « لووریه» گفته بود و بی هیچ تردید سیاره جدیدی را در آنجا دید که از آن پس نپتون نام گرفت.نزدیک ترین نقطه مدار سیاره عطارد به خورشید در هر دور حرکت سالیانه سیاره تغییر میکرد و هیچ گاه دوبار پشت سر هم این تغییر در یک نقطه خاص اتفاق نمی‌افتاد.اختر شناسان بیشتر این بی نظمی ها را به حساب اختلال ناشی از کشش سیاره های مجاور عطارد می دانستند !مقدار این انحراف برابر 43 ثانیه قوس بود. این حرکت در سال 1845 به وسیله لووریه کشف شد بالاخره با ارائه نظریه نسبیت عام جواب فراهم شد این فرضیه با اتکایی که بر هندسه نااقلیدسی داشت نشان داد که حضیض هر جسم دوران کننده حرکتی دارد علاوه برآنچه اسحاق نیوتن گفته بود.وقتی که فرمولهای آلبرت انیشتین را در مورد سیاره عطارد به کار بردند، دیدند که با تغییر مکان حضیض این سیاره سازگاری کامل دارد. سیاره هایی که فاصله شان از خورشید بیشتر از فاصله تیر تا آن است تغییر مکان حضیضی دارند که به طور تصاعدی کوچک می شوند.اثر بخش‌تر از اینها دو پدیده تازه بود که فقط نظریه آلبرت انیشتین آن‌را پیشگویی کرده بود. نخست آنکه آلبرت انیشتین معتقد بود که میدان گرانشی شدید موجب کند شدن ارتعاش اتمها می شود و گواه بر این کند شدن تغییر جای خطوط طیف است به طرف رنگ سرخ! یعنی اینکه اگر ستاره ای بسیار داغ باشد و به طوری که محاسبه می کنیم بگوییم که نور آن باید آبی درخشان باشد در عمل سرخ رنگ به نظر می‌رسد کجا برویم تا این مقدار قوای گرانشی و حرارت ی بالا را داشته باشیم، پاسخ مربوط به کوتوله های سفید است.دانشمندان به بررسی طیف کوتوله های سفید پرداختند و در حقیقت تغییر مکان پیش بینی شده را با چشم دیدند! اسم این را تغییر مکان آلبرت انیشتینی گذاشتند. آلبرت انیشتین می گفت که میدان گرانشی شعاع های نور را منحرف می‌کند چگونه ممکن بود این مطلب را امتحان کرد.اگر ستاره ای در آسمان آن سوی خورشید درست در امتداد سطح آن واقع باشد و در زمان کسوف خورشید قابل رؤیت باشد اگر وضع آنها را با زمانی که فرض کنیم خورشیدی در کار نباشد مقایسه کنیم خم شدن نور آنها مسلم است. درست مثل موقعی که انگشت دستتان را جلوی چشمتان در فاصله 8 سانتیمتری قرار دهید و یکبار فقط با چشم چپ و بار دیگر فقط با چشم راست به آن نگاه کنید به نظر می رسد که انگشت دستتان در مقابل زمینه پشت آن تغییر جا می‌دهد ولی واقعاً انگشت شما که جابجا نشده است!

دانشمندان در موقع کسوف در جزیره پرنسیپ پرتغال واقع در آفریقای غربی دیدند که نور ستاره ها به جای آنکه به خط راست حرکت کنند در مجاورت خورشید و در اثر نیرو ی گرانشی آن خم می شوند و به صورت منحنی در می آیند. یعنی ما وضع ستاره ها را کمی بالاتر از محل واقعیش می‌بینیم.ماهیت تمام پیروزیهای نظریه نسبیت عام آلبرت انیشتین نجومی بود ولی دانشمندان حسرت می کشیدند که ای کاش راهی برای امتحان آن در آزمایشگاه داشتند.ـ نظریه آلبرت انیشتین به ماده به صورت بسته متراکمی از انرژی نگاه می کرد به همین خاطر می گفت که این دو به هم تبدیل پذیرند یعنی ماده به انرژی و انرژی به ماده تبدیل می شود.
E = mc²دانشمندان به ناگاه جواب بسیاری از سؤالها را یافتند. پدیده رادیواکتیو ی به راحتی توسط این معادله توجیه شد. کم کم دانشمندان متوجه شدند که هر ذره مادی یک پادماده مساوی خود دارد و در اینجا بود که ماده و انرژی غیر قابل تفکیک شدند.تا اینکه آلبرت انیشتین طی نامه ای به رئیس جمهور آمریکا نوشت که می توان ماده را به انرژی تبدیل کنیم و یک بمب اتمی درست کنیم و آمریکا دستور تأسیس سازمان عظیمی را داد تا به بمب اتمی دست پیدا کند. برای شکافت هسته اتم اورانیوم 235 انتخاب شد. اورانیوم عنصری است که در پوسته زمین بسیار زیاد است. تقریباً 2 گرم در هر تن سنگ! یعنی از طلا چهارصد مرتبه فراوانتر است اما خیلی پراکنده.در سال 1945 مقدار کافی برای ساخت بمب جمـع شـده بود و ایـن کار یعنی ساختن بمب در آزمایشگاهــی در « لوس آلاموس » به سرپرستی فیزیکدان آمریکایی «رابرت اوپنهایمر» صورت گرفت. آزمودن چنین وسیله ای در مقیاس کوچک ناممکن بود. بمب یا باید بالای اندازه بحرانی باشد یا اصلاً نباشد و در نتیجه اولین بمب برای آزمایش منفجر شد. در ساعت 5/5 صبح روز 16 ژوئیه 1945 برابر با 25 تیرماه 1324 و نیرو ی انفجاری برابر 20 هزار تنT.N.T آزاد کرده دو بمب دیگر هم تهیه شد. یکی بمب اورانیوم بنام پسرک با سه متر و 60 سانتیمتر طول و به وزن 5/4 تن و دیگری مرد چاق که پلوتونیم هم داشت. اولی روی هیروشیما و دومی روی ناکازاکی در ژاپن انداخته شد. صبح روز 16 اوت 1945 در ساعت 10 و ده دقیقه صبح شهر هیروشیما با یک انفجار اتمی به خاک و خون کشیده شد. با بمباران هیروشیما جهان ناگهان به خود آمد، 160000 کشته در یک روز وجدان خفته فیزیکدان ها بیدارر شد! « اوپنهایمر» مسئول پروژه بمب و دیگران از شدت عذاب وجدان لب به اعتراض گشودند و به زندان افتادند. آلبرت انیشتین اعلام کرد که اگر روزی بخواهم دوباره به دنیا بیایم دوست دارم یک لوله‌کش بشوم نه یک دانشمند!




داغ کن - کلوب دات کام
نظرات() 

نویسنده :آراد صارمی
تاریخ:دوشنبه 15 اسفند 1390-10:44 ب.ظ

عدد گنگ

عدد گُنگ، یا عدد اصم، هر عدد حقیقی است که گویا نباشد، یعنی نتوان آن را به صورت کسری که صورت و مخرجش عدد صحیح باشند نوشت. مجموعه اعداد گنگ مجموعه‌ای ناشمارا است. از معروفترین این اعداد می‌توان از π، e و ۲√ نام برد.۱- شاید اولین عدد گنگی که بشر کشف کرد ۲√ بوده باشد.کشف این عدد منتسب به فیثاغورثیان(شاگردان فیثافورث) است و گفته میشود در رقابتهای علمی که در آن زمان بین گروههای مختلف درجریان بود این عدد نقش یک برگ برنده بزرگ را برای فیثاعورثیان ایفا کرد.این عدد طول قطر مربعی به ضلع یک میباشد که براحتی از رابطه ی فیثاعورث(a^2 + b^2 = c^2) بدست می آید.در ریاضیات کلاسیک هم ۲√ رایج ترین گزینه برای اثبات وجود اعداد گنگ است.در واقع ثابت میشود که عدد گویایی موجود نیست که به توان 2 برابر با 2 شود.اهمیت کشف اعداد گنگ در آنجا بود که نوعی عدم قطعیت به ریاضیات میداد بدین معنا که برخلاف ذات ریاضی یعنی قطعی بودن آن در عمل اعداد گنگ را نمیتوان بطور قطعی بیان کرد مثلا بسط اعشاری همین عدد ۲√ نامختوم و غیر تکراریست و برای نمایش آن مجبوریم به چند رقم اعشار آن اکتفا کنیم و بقیه را نادیده بگیریم مثلا بنویسیم 1.4142=۲√

2- یکی دیگر از اعداد گنگ مهم و تاریخی عدد پی( 3.1415 = ∏ ) میباشد.بازهم پای عدم قطعیت به میان می آید.شما دایره ای به قطر یک رسم میکنید اما محیط این دایره عدیدیست با بسط اعشاری بی انتها و غیر تکراری!!! عدد پی در بسیاری از معادلاتی که با نوسان و تناوب سر و کار دارند ظاهر می شود. بنا به شواهد تاریخی نخستین بار عدد پی توسط بابلیان (3.125) و مصریان(3.1604) در 1900 سال قبل از میلاد محاسبه شد که هر دو تا یک رقم اعشار صحیح است.همچنین در متون هندی این عدد 3.139 تقریب زده شده که حدودا تا دو رقم اعشار صحیح است. اولین کسی که عدد پی را با دقت قابل قبول تخمین زد ارشمیدس در قرن سه قبل از میلاد بود.او به کمک روش تقریب دایره با چند ضلعی های منتظم و به کمک 96 ضلعی منتظم عدد پی را 3.1519 تخمین زد که تا سه رقم اعشار صحیح است.همیچنی دانشمندی چینی بنام زو چانگ ژی در قرن 5 میلادی عدد پی را 3.14159292 محاسبه کرد که تا 6 رقم اعشار صحیح است.تا هزاره دوم میلادی کمتر از ده قم اعشار عدد پی بطور صحیح محاسبه شده بود(به کمک عدد پی تا 11 رقم اعشار میتوان محیط کره زمین را با دقت میلیمتر تخمین زد!!!) رفته رفته و با پیشرفت ریاضیات و ابداع روش سریهای نامتناهی تخمین های بهتر و بهتری برای عدد پی بدست آمد بطوریکه امروزه با استفاده از کامپیوترهای شخصی میتوان این عدد را تا میلیاردها رقم اعشار صحیح تخمین زد!!!

3- پرکاربردترین عدد گنگی که بشر تا بحال کشف کرده عدد نپر( 2.7182 = e) است.کشف این عدد منتسب به جان نپر(John Napier) دانشمند اسکاتلندی و معرف لگاریتم است.البته اهمیت این عدد بیشتر مرهون کارهای لئونارد اویلر(Leonhard Euler) دانشمند سوییسی است.چه بسیاری نیز معتقدند انتخاب حرف e برای عدد نپر بخاطر اولین حرف از نام خانوادگی اویلر بوده است.البته عده ای نیز میگویند این حرف نخستین حرف کلمه ی نمایی(exponential) است.در واقع توابع نمایی بصورت f(x)=a^x هستند و در بین تمام اعداد حقیقی ممکنی که میتوانند بجای a قرار گیرند عدد نپر تنها عددییست که باعث میشود تابع نمایی در نقطه صفر دقیقا شیبی برابر با یک داشته باشد(مشتق تابع e^x برابر است با e^x و لذا شیب این تابع در صفر برابر است با e^0=1) عدد نپر در جاهای دیگر هم ظاهر میشود.مثلا فرض کنید در بانک مبلغ یک دلار قرار داده اید و بانک به شما 100درصد سود در سال پرداخت میکند یعنی در پایان سال شما دو دلار خواهید داشت(n=1)حال اگر بانک بجای صد در صد در سال شش ماه اول 50 درصد سود پرداخت کند(یک و نیم دلار در پایان شش ماه)و در شش ماه دوم نیز 50 درصد سود پرداخت کند(به ازای یک و نیم دلار پس انداز شما)در پایان سال 1.5+0.75=2.25 دلار خواهید داشت(n=2)اگر این بار بانک هر سه ماه یک بار به شما 25 درصد سود پرداخت کند در پایان سال مبلغ 1.25+0.3125+0.390625+0.488281=2.44141 در حساب خود خواهید داشت (n=4) اگر این روند ادامه پیدا کند یعنی بانک در تعداد دفعات بیشتری به شما سود کمتری پرداخت کند و این تعداد دفعات یعنی n به بینهایت میل کند شما در پایان سال به اندازه 2.7182 = e دلار در بانک خواهید داشت!!! همچنین اگر احتمال برنده شدن شما در یک بازی n^ -1 باشد و شما این بازی را n بار انجام دهید و n به سمت بینهایت میل کند احتمال اینکه شما هر n بازی را ببازید برابر است باe^ -1 .گنگ




داغ کن - کلوب دات کام
نظرات()