تبلیغات
ریاضی - تفاوت هندسه اقلیدسی و نااقلیدسی


Admin Logo
themebox Logo
نویسنده :آراد صارمی
تاریخ:دوشنبه 15 اسفند 1390-11:18 ب.ظ

تفاوت هندسه اقلیدسی و نااقلیدسی

علومی كه از یونان باستان توسط اندیشمندان اسلامی محافظت و همین طور تكمیل شد، از قرون یازدهم میلادی به بعد به اروپا منتقل شد،  که این علوم بیشتر شامل ریاضی و فلسفه ی طبیعی می شد.

فلسفه ی طبیعی توسط كوپرنیك، برونو، كپلر و گالیله به چالش كشیده شد و از آن میان فیزیك نیوتنی بیرون آمد. چون كلیسا خود را مدافع فلسفه طبیعی یونان می دانست و جستجو در آن با خطرات زیادی همراه بود، اندیشمندان  با كنجكاوی بیشتر به ریاضیات می پرداختند، زیرا كلیسا نسبت به آنها حساسیت نشان نمی داد. بنابراین ریاضیات نسبت به فیزیك از پیشرفت بیشتری برخوردار بود. یكی از شاخه های مهم ریاضیات هندسه بود كه آن هم در هندسه ی اقلیدسی خلاصه می شد.

«نیکلای ایوانوویچ لوبا چفسکی» نخستین کسی بود که در سال 1829 مقاله ای در زمینه هندسه نا اقلیدسی منتشر ساخت.هنگامی که این اثر از او منتشر شد خیلی مورد توجه قرار نگرفت،و این موضوع به این علت بود که به زبان روسی نوشته شده بود و روس هایی که آن را می خواندند، سخت خرده گیری می کردند.

او در سال 1840 مقاله ای به زبان آلمانی منتشر کرد که بسیار مورد توجه دانشمند معروف  «گاوس» قرار گرفت.

بنابراین در قرن نوزدهم دو ریاضیدان بزرگ به نام «لباچفسکى» و «ریمان» دو نظام هندسى را صورت بندى کردند که هندسه را از سیطره اقلیدس خارج مى کرد. صورت بندى «اقلیدس» از هندسه تا قرن نوزدهم با کاربرد ترین هندسه بود و پنداشته مى شد که نظام اقلیدس تنها نظامى است که امکان پذیر است.

هندسه اقلیدسی مدلی برای ساختار نظریه های علمی بود و نیوتون و دیگر دانشمندان از آن پیروی می کردند.این نوع هندسه بر 5 اصل استوار می شود و بر 5 اصل اثبات می شود.

اصل اول - از هر نقطه می توان خط مستقیمی به هر نقطه ی دیگر كشید.

اصل دوم - هر پاره خط مستقیم را می توان روی همان خط به طور نامحدود امتداد داد.

اصل سوم - می توان دایره ای با هر نقطه دلخواه به عنوان مركز آن و با شعاعی مساوی هر پاره خط رسم كرد.

اصل چهارم - همه ی زوایای قائمه با هم مساوی اند.

اصل پنجم - از یك نقطه خارج یك خط، یك خط و و تنها یك خط می توان موازی با خط مفروض رسم كرد.

هندسه «لباچفسکى» و هندسه «ریمانى» این اصل موضوعه پنجم را مورد تردید قرار دادند. در هندسه «ریمانى» ممکن است خط صافى که موازى خط مفروض باشد از نقطه مورد نظر عبور نکند و در هندسه «لباچفسکى» ممکن است بیش از یک خط از آن نقطه عبور کند. با اندکى  تفکر و حساب مى توان گفت این دو هندسه منحنى وار هستند. بدین معنا که کوتاه ترین فاصله بین دو نقطه یک منحنى است.

هندسه نا اقلیدسی چیست؟ هر هندسه ای غیر از اقلیدسی را نا اقلیدسی می گویند.این گونه هندسه ها تا به حال زیاد بوده است.تفاوت بین هندسه نا اقلیدسی و اقلیدسی تنها در اصل توازی است.در هندسه اقلیدسی به ازای هر نقطه و هر خط نا واقع بر آن یک خط می توان موازی با آن رسم کرد.

نقض این اصل را به دو صورت می توان در نظر گرفت. تعداد خطوط موازی كه از یك نقطه نا واقع بر آن، می توان رسم كرد، بیش از یكی است. و یا اصلاً خطوط موازی وجود ندارند. با توجه به این دو نقض، هندسه های نا اقلیدسی را می توان به دو گروه تقسیم كرد.اما دانشمندی به نام اقلیدس که در اسکندریه زندگی میکرد، هندسه را به صورت یک علم بیان نمود. وی حدود سال ۳۰۰ پیش از میلاد مسیح، تمام نتایج هندسی را که تا آن زمان شناخته بود، گرد آورد و آنها را به طور منظم، در یک مجموعه ۱۳ جلدی قرار داد. این کتابها که اصول هندسه نام داشتند، به مدت ۲ هزار سال در سراسر دنیا برای مطالعه هندسه به کار میرفتند.

براساس این قوانین، هندسه اقلیدسی تکامل یافت. هر چه زمان میگذشت، شاخههای دیگری از هندسه توسط ریاضیدانان مختلف، توسعه مییافت. امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسه تحلیلی و مثلثات، هندسه غیر اقلیدسی و هندسه فضایی مطالعه میکنیم.
خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند این بود که آنان احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند. قبل از اقلیدس، فیثاغورث 572-500) ق.م ( و زنون 490) ق.م.( نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده بودند.
در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام هیپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم بندی بابلیها را برای پیرامون دایره پذیرفت. به این معنی که دایره را به ۳۶۰ درجه و درجه را به ۶۰ دقیقه و دقیقه را به ۶۰ قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی براساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای بعضی قوسها را به دست میداد و این قدیمیترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است.
بعد از آن دانشمندان هندی موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در سده پنجم میلادی آپاستامبا، در سده ششم، آریابهاتا، در سده هفتم، براهماگوپتا و در سده نهم، بهاسکارا در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر بودند.


کلاس بندی هندسه
هنـدسه مقـدماتی به دو شاخه تقسیـم می گردد :
-    هنـدسه مسطحه
-    هندسه فضایی
در هندسه مسطحه ، اشکالی مورد مطالعه قرار میگیرند که فقط دو بعد دارند، هندسه فضایی ، مطالعه اشکال هندسی سه بعدی است. این بخش از هندسه در مورد اشکال سه بعدی چون مکعب ها ،استوانه ها، مخروط ها، کره ها و غیره است.


در هندسه مدرن شاخههای زیر مورد مطالعه قرار میگیرند:
•    هندسه تحلیلی
•    هندسه برداری
•    هندسه دیفرانسیل
•    هندسه جبری
•    هندسه محاسباتی
•    هندسه اعداد صحیح
•    هندسه اقلیدسی
•    هندسه نااقلیدسی
•    هندسه تصویری و ناجابجایی



هندسه اقلیدسی
علومی که از یونان باستان توسط اندیشمندان اسلامی محافظت و تکمیل شد، از قرون یازدهم میلادی به بعد به اروپا منتقل شد، بیشتر شامل ریاضی و فلسفه ی طبیعی بود. فلسفه ی طبیعی توسط کوپرنیک، برونو، کپلر و گالیله به چالش کشیده شد و از آن میان فیزیک نیوتنی بیرون آمد. چون کلیسا خود را مدافع فلسفه طبیعی یونان می دانست و کنکاش در آن با خطرات زیادی همراه بود، اندیشمندان کنجکاو بیشتر به ریاضیات می پرداختند، زیرا کلیسا نسبت به آن حساسیت نشان نمی داد. بنابراین ریاضیات نسبت به فیزیک از پیشرفت بیشتری برخوردار بود. یکی از شاخه های مهم ریاضیات هندسه بود که آن هم در هندسه ی اقلیدسی خلاصه می شد.
در هندسه ی اقلیدسی یکسری مفاهیم اولیه نظیر خط و نقطه تعریف شده بود و پنچ اصل را به عنوان بدیهیات پذیرفته بودند و سایر قضایا را با استفاده از این اصول استنتاج می کردند. اما اصل پنجم چندان بدیهی به نظر نمی رسید. بنابر اصل پنجم اقلیدس از یک نقطه خارج از یک خط، یک خط و تنها یک خط می توان موازی با خط مفروض رسم کرد. برخی از ریاضیدانان مدعی بودند که این اصل را می توان به عنوان یک قضیه ثابت کرد. در این راه بسیاری از ریاضیدانان تلاش زیادی کردند و نتیجه نگرفتند. خیام ضمن جستجوی راهی برای اثبات »اصل توازی «مبتکر مفهوم عمیقی در هندسه شد.
در تلاش برای اثبات این اصل، خیام گزاره هایی را بیان کرد که کاملا مطابق گزاره هایی بود که چند قرن بعد توسط والیس و ساکری ریاضیدانان اروپایی بیان شد و راه را برای ظهور هندسه های نااقلیدسی در قرن نوزدهم هموار کرد. سرانجام و پس از دو هزار سال اصولی متفاوت با آن بیان کردند و هندسه های نااقلیدسی شکل گرفت. بدین ترتیب علاوه بر فلسفه ی طبیعی ریاضیات نیز از انحصار یونانی خارج و در مسیری جدید قرار گرفت و آزاد اندیشی در ریاضیات آغاز گردید.


اصطلاحات بنیادی ریاضیات
طی قرنهای متمادی ریاضیدانان اشیاء و موضوع های مورد مطلعه ی خود از قبیل نقطه و خط و عدد را همچون کمیت هایی در نظر می گرفتند که در نفس خویش وجود دارند. این موجودات همواره همه ی کوششهای را که برای تعریف و توصیف شایسته ی آنان انجام می شد را با شکست مواجه می ساختند. بتدریج این نکته بر ریاضیدانان قرن نوزدهم آشکار گردید که تعیین مفهوم این موجودات نمی تواند در داخل ریاضیات معنایی داشته باشد. حتی اگر اصولاً دارای معنایی باشند.
بنابراین، اینکه اعداد، نقطه و خط در واقع چه هستند در علوم ریاضی نه قابل بحث است و نه احتیاجی به این بحث هست. یک وقت براتراند راسل گفته بود که ریاضیات موضوعی است که در آن نه می دانیم از چه سخن می گوییم و نه می دانیم آنچه که می گوییم درست است.
دلیل آن این است که برخی از اصطلاحات اولیه نظیر نقطه، خط و صفحه تعریف نشده اند و ممکن است به جای آنها اصطلاحات دیگری بگذاریم بی آنکه در درستی نتایج تاثیری داشته باشد. مثلاً می توانیم به جای آنکه بگوییم دو نقطه فقط یک خط را مشخص می کند، می توانیم بگوییم دو آلفا یک بتا را مشخص می کند. با وجود تغییری که در اصطلاحات دادیم، باز هم اثبات همه ی قضایای ما معتبر خواهد ماند، زیرا که دلیل های درست به شکل نمودار بسته نیستند، بلکه فقط به اصول موضوع که وضع شده اند و قواعد منطق بستگی دارند.
بنابراین، ریاضیات تمرینی است کاملاً صوری برای استخراج برخی نتایج از بعضی مقدمات صوری. ریاضیات احکامی می سازند به صورت هرگاه چنین باشد، آنگاه چنان خواهد شد و اساساً در آن صحبتی از معنی فرضها یا راست بودن آنها نیست. این دیدگاه )صوریگرایی( با عقیده ی کهن تری که ریاضیات را حقیقت محض می پنداشت و کشف هندسه های نااقلیدسی بنای آن را درهم ریخت، جدایی اساسی دارد. این کشف اثر آزادی بخشی بر ریاضیدانان داشت.


اشکالات وارد بر هندسه اقلیدسی
هندسه ی اقلیدسی بر اساس پنچ اصل موضوع زیر شکل گرفت :

اصل اول - از هر نقطه می توان خط مستقیمی به هر نقطه ی دیگر کشید.
اصل دوم - هر پاره خط مستقیم را می توان روی همان خط به طور نامحدود امتداد داد.
اصل سوم - می توان دایره ای با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعی مساوی هر پاره خط رسم کرد.
اصل چهارم - همه ی زوایای قایمه با هم مساوی اند.
اصل پنجم - از یک نقطه خارج یک خط، یک خط و و تنها یک خط می توان موازی با خط مفروض رسم کرد.

اصل پنجم اقلیدس که ایجاز سایر اصول را نداشت، به هیچوجه واجد صفت بدیهی نبود. در واقع این اصل بیشتر به یک قضیه شباهت داشت تا به یک اصل. بنابراین طبیعی بود که لزوم واقعی آن به عنوان یک اصل مورد سیوال قرار گیرد. زیرا چنین تصور می شد که شاید بتوان آن را به عنوان یک قضیه نه اصل از سایر اصول استخراج کرد، یا حداقل به جای آن می توان معادل قابل قبول تری قرار داد.
در طول تاریخ ریاضیدانان بسیاری از جمله، خواجه نصیرالدین طوسی، جان والیس، لژاندر، فورکوش بویویی و … تلاش کردند اصل پنجم اقلیدس را با استفاده از سایر اصول نتیجه بگیرنر و آن را به عنوان یک قضیه اثبات کنند. اما تمام تلاشها بی نتیجه بود و در اثبات دچار خطا می شدند و به نوعی همین اصل را در اثباط خود به کار می بردند. دلامبر این وضع را افتضاح هندسه نامید تا اینکه هندسه نااقلیدسی پا به عرصه وجود نهاد.


پیدایش هندسه نااقلیدسی
همه با نام اقلیدس و کتاب جاودانی او اصول Elements  که بحق جزء تاثیرگذارترین و مهمترین کتاب های تاریخ بشر قلمداد می شود، آشنا هستیم. اقلیدس در این کتاب از تعداد انگشت شماری »اصول موضوع «تعداد نسبتا قابل توجهی »قضیه« نتیجه گیری می کند. کار عظیم اقلیدس این بود که چند اصل ساده چند حکم که بی نیاز به توجیه، پذیرفتنی بودند دست چین کرد و از آنها ۴۶۵ گزاره نتیجه گرفت که بسیاری از آنها پیچیده بودند و به طور شهودی، بدیهی نبودند و تمام اطلاعات زمان او را در برداشتند. یک دلیل بر زیبایی » اصول «اقلیدس این است که این همه را از آن اندک نتیجه گرفته است. در میان پنج اصل موضوع اقلیدس اصل پنجم یا اصل توازی که در بالا بدان اشاره شد، موجب زحمت فکری بود: نه چندان ساده بود که بتوان اصل بودنش را بی نگرانی پذیرفت، قابل اثبات هم نبود. از همان آغاز کسانی دچار دودلی شدند و وقت بسیاری را برای اثبات آن یا قرار دادن اصلی به جای آن صرف کردند. این کوشش ها هرچند به نتیجه قطعی نرسیدند، راه را برای رسیدن به نتیجه مهمتری گشودند. در قرن نوزدهم، سه دانشمند در سه کشور گاوس در آلمان، بولیایی در مجارستان و لوباچفسکی در روسیه تقریبا همزمان به کشف هندسه هایی دست یافتند که گاوس بر آنها نام هندسه نااقلیدسی نهاد.
نیکلای ایوانوویچ لوباچفسکی در سال ۱۸۲۹ مقاله ای در زمینه هندسه نااقلیدسی منتشر ساخت. هنگامی که اثر او منتشر شد چندان مورد توجه قرار نگرفت، بیشتر به این علت که به زبان روسی نوشته شده بود و روس هایی که آن را می خواندند، سخت خرده گیری می کردند. وی در سال ۱۸۴۰ مقاله ای به زبان آلمانی منتشر کرد که مورد توجه گاوس قرار گرفت. گاوس در نامه ای به ه. ک. شوماخر از آن مقاله ستایش کرد و در عین حال تقدم خود را در این زمینه تکرار کرد. لوباچفسکی هندسه اش را در آغاز »هندسه انگاری «و بعد »هندسه عام «نام گذارد و موضوع آن را در مقاله هایی که منتشر کرد به طور کامل بسط داد.
لوباچفسکی علنا با تعلیمات و اصول عقاید کانت درباره فضا، به مثابه شهود ذهنی، به مبارزه برخاست و در سال ۱۸۳۵ نوشت: تلاش های بی ثمری که از زمان اقلیدس تاکنون صورت گرفته است... این بدگمانی را در من برانگیخت که حقیقت... در داده ها وجود ندارد و برای اثبات آن مثل مورد قوانین دیگر طبیعت کمک های تجربی، مثلا مشاهدات نجومی نیاز است. اریک تمپل بل در کتاب »مردان ریاضیات «لوباچفسکی را آزادکننده بزرگ دانش هندسه نام داده است. بل می گوید نام او باید برای هر بچه مدرسه ای به اندازه نام های میکل آنژ یا ناپلئون آشنا باشد. بدبختانه از لوباچفسکی در دوران حیاتش تجلیل نشد.
و در حقیقت در ۱۸۴۶ به رغم بیست سال خدمت برجسته ای که با عنوان استاد و رئیس انجام داده بود، از دانشگاه قازان اخراج شد. او مجبور شد در سال پیش از مرگش، به علت نابینایی آخرین کتابش را تقریر کند تا برایش بنویسند.


هندسه های نااقلیدسی
اساساً هندسه نااقلیدسی چیست؟ هر هندسه ای غیر از اقلیدسی را نا اقلیدسی می نامند. از این گونه هندسه ها تا به حال زیاد شناخته شده است. اختلاف بین هندسه های نا اقلیدسی و اقلیدسی تنها در اصل توازی است. در هندسه اقلیدسی به ازای هر خط و هر نقطه نا واقع بر آن یک خط می توان موازی با آن رسم کرد.
نقیض این اصل را به دو صورت می توان در نظر گرفت. تعداد خطوط موازی که از یک نقطه نا واقع بر آن، می توان رسم کرد، بیش از یکی است. و یا اصلاً خطوط موازی وجود ندارند. با توجه به این دو نقیض، هندسه های نا اقلیدسی را می توان به دو گروه تقسیم کرد.


یک - هندسه های هذلولوی
در هندسه نااقلیدسی، نقیض اصل توازی را به عنوان اصل موضوع مفروض می گیریم. یعنی این گزاره را که »از یک نقطه خارج از یک خط راست بیش از یک نقطه می توان به موازات آن رسم کرد «به جای اصل موضوع توازی اقلیدس قرار می دهیم. این امر به هندسه حیرت انگیزی منجر می شود که با هندسه اقلیدسی تفاوت اساسی دارد. به قول گاوس قضایای این هندسه به باطن ما می مانند و شاید در نظر فردی مبتدی بی معنی جلوه کنند. ولی تفکر پیگیر و آرام آشکار می سازد که هیچ چیز ناممکن در آنها نیست، مثلا، سه زاویه مثلث تا بخواهید می توانند کوچک شوند به شرطی که اضلاع آن به اندازه کافی بزرگ شوند و تازه اضلاع مثلث هرچه باشند، مساحت مثلث هیچ گاه نمی تواند از حد معینی زیادتر شود و در واقع هیچ گاه هم نمی تواند به آن برسد.
گاوس در نامه تاریخی خود به دوست ریاضیدانش »تاورینوس «می گوید: همه تلاش های من برای یافتن یک تناقض یا یک ناسازگاری در این هندسه نااقلیدسی به شکست انجامیده است. چیزی که در آن با ادراک ما مغایرت دارد این است که اگر راست باشد، باید در فضای آن یک اندازه خطی وجود داشته باشد که خود به خود معین است اگر چه ما آن را نمی دانیم... هرگاه این هندسه نااقلیدسی راست باشد و بتوان آن مقدار ثابت را با همان کمیاتی که به هنگام اندازه گیری هایمان بر روی زمین و در آسمان بدان ها برمی خوریم، مقایسه کنیم آن گاه ممکن است آن مقدار ثابت را پس از تجربه تعیین کرد. در نتیجه، من گاهی به شوخی آرزو کرده ام که هندسه اقلیدسی راست نبود، چون در آن صورت ما از پیش انگاره مطلقی برای اندازه گیری داشتیم.
در هندسه هذلولی می توان ثابت کرد که اگر دو مثلث متشابه باشند، آنگاه قابل انطباق اند. به عبارت دیگر ملاک»  ززز« برای قابلیت انطباق درست است در این هندسه، هندسه هذلولی ممکن نیست مثلثی را بدون انداختن از شکل طبیعی بزرگ یا کوچک کرد. در نتیجه در یک جهان هذلولی، عکاسی ذاتا جنبه فراواقعگرایی سوررئالیستی پیدا خواهد کرد یک نتیجه تکان دهنده قضیه مذکور این است که در هندسه هذلولی یک پاره خط می تواند به کمک یک زاویه مشخص شود. یعنی یک زاویه از یک مثلث متساوی الساقین، طول یک ضلع را به طور منحصر به فرد معین می سازد. همان طور که در نامه گاوس به تاورینوس نیز ذکر گردید، اغلب با بیان اینکه هندسه هذلولی واحد مطلق طول دارد، این نکته را هیجان انگیزتر می کنند. اگر هندسه جهان مادی هندسه هذلولی بود لازم نبود واحد طول با دقت در دفتر استانداردها نگاهداری شود.
در هندسه اقلیدسی، تقسیم هر زاویه به سه قسمت برابر، به وسیله ستاره خط کش غیرمدرج و پرگار تنها، نشدنی است.
در هندسه هذلولی، علاوه بر آنکه این تقسیم نشدنی است، تقسیم هر پاره خط به سه قسمت برابر نیز به وسیله ستاره و پرگار تنها، نشدنی است در هندسه اقلیدسی، رسم چهارضلعی منتظمی که مساحت آن برابر مساحت دایره مفروضی باشد، شدنی نیست ولی در هندسه هذلولی این کار شدنی است.


دو - هندسه های بیضوی
 در سال ۱۸۵۴ فریدریش برنهارد ریمان نشان داد که اگر نامتناهی بودن خط مستقیم کنار گذاشته شود و صرفاً بی کرانگی آن مورد پذیرش واقع شود، آنگاه با چند جرح و تعدیل جزیی اصول موضوعه دیگر، هندسه سازگار نااقلیدسی دیگری را می توان به دست آورد. پس از این تغییرات اصل توازی هندسه بیضوی بصورت زیر ارایه گردید.
اصل توازی هندسه بیضوی - از یک نقطه ناواقع بر یک خط نمی توان خطی به موازات خط مفروض رسم کرد.
یعنی در هندسه بیضوی، خطوط موازی وجود ندارد. با تجسم سطح یک کره می توان سطحی شبیه سطح بیضوی در نظر گرفت. این سطح کروی را مشابه یک صفحه در نظر می گیرند. در اینجا خطوط با دایره های عظمیه کره نمایش داده می شوند. بنابراین خط ژیودزیک یا مساحتی در هندسه بیضوی بخشی از یک دایره عظیمه است.
در هندسه بیضوی مجموع زوایای یک مثلث بیشتر از ۱۸۰ درجه است. در هندسه بیضوی با حرکت از یک نقطه و پیمودن یک خط مستقیم در آن صفحه، می توان به نقطه ی اول باز گشت. همچنین می توان دید که در هندسه بیضوی نسبت محیط یک دایره به قطر آن همواره کمتر از عدد پی است.


مفهوم و درک شهودی انحنای فضا
سوال اساسی این است که کدام یک از این هندسه های اقلیدسی یا نا اقلیدسی درست است؟
پاسخ صریح و روشن این است که باید انحنای یک سطح را تعیین کنیم تا مشخص شود کدام یک درست است. بهترین دانشی کا می تواند در شناخت نوع هندسه ی یک سطح مورد استفاده و استناد قرار گیرد، فیزیک است. یک صفحه ی کاغذ بردارید و در روی آن دو خط متقاطع رسم کنید. سپس انحنای این خطوط را در آن نقطه تعیین کرده و با توجه به تعریف انحنای سطح حاصلضرب آن را به دست می آوریم. اگر مقدار انحنا برابر صفر شد، صفحه اقلیدسی است، اگر منفی شد می گوییم صفحه هذلولوی است و در صورتی که مثبت شود، ادعا می کنیم که صفحه بیضوی است .
در کارهای معمولی مهندسی نظیر ایجاد ساختمان یا ساختن یک سد بر روی رودخانه، انحنای سطح مورد نظر برابر صفر است، به همین دلیل در طول تلریخ مهندسین همواره از هندسه اقلیدسی استفاده کرده اند و با هیچگونه مشکلی هم مواجه نشدند. یا برای نقشه برداری از سطح یک کشور اصول هندسه ی اقلیدسی را بکار می برند و فراز و نشیب نقاط مختلف آن را مشخص می کنند. در این محاسبات ما می توانیم از خطکش هایی که در آزمایشگاه یا کارخانه ها ساخته می شود، استفاده کنیم. حال سیوال این است که اگر خطکش مورد استفاده ی ما تحت تاثیر شرایط محیطی قرار بگیرد چه باید کرد؟ اما می دانیم از هر ماده ای که برای ساختن خطکش استفاده کنیم، شرایط فیزیکی محیط بر روی آن اثر می گذارد. البته با توجه با تاثیر محیط بر روی خطکش ما تلاش می کنیم از بهترین ماده ی ممکن استفاده کنیم. بهمین دلیل چوب از لاستیک بهتر است و آهن بهتر از چوب است.
اما برای مصافتهای دور نظیر فواصل نجومی از چه خطکشی )متری (می توانیم استفاده کنیم؟ طبیعی است که در اینجا هیچ خطکشی وجود ندارد که بتوانیم با استفاده از آن فاصله ی بین زمین و ماه یا ستارگان را اندازه بگیریم. بنابراین باید به سایر امکاناتی توجه کنیم که در عمل قابل استفاده است. اما در اینجا چه امکاناتی داریم؟ بهترین ابزار شناخته شده امواج الکترومغناطیسی است. اگر مسیر نور در فضا خط مستقیم باشد، در اینصورت با جرات می توانیم ادعا کنیم که فضا اقلیدسی است. برای پی بردن به نوع انحنای فضا باید مسیر پرتو نوری را مورد بررسی قرار دهیم .
اما تجربه نشان می دهد که مسیر نور هنگام عبور از کنار ماده یعنی زمانی که از یک میدان گرانشی عبور می کند، خط مستقیم نیست، بلکه منحنی است. بنابراین فضای اطراف اجسام اقلیدسی نیست. به عبارت دیگر ساختار هندسی فضا نااقلیدسی است.


انحنای سطح یا انحنای گایوسی
اگر خط را راست فرض کنیم نه خمیده، چنانچه ناگزیر باشیم یک انحنای عددی k به خطی نسبت دهیم برای خط راست خواهیم داشت  k=o انحنای یک دایره به شعاع r برابر است با k=۱/r.
تعریف می کنند. همچنین منحنی هموار، منحنی ای است که مماس بر هر نقطه اش به بطور پیوسته تغییر کند. به عبارت دیگر منحنی هموار یعنی در تمام نقاطش مشتق پذیر باشد.
برای به دست آوردن انحنای یک منحنی در یک نقطه، دایره بوسان آنرا در آن نقطه رسم کرده، انحنای منحنی در آن نقطه برابر با انحنای دایره ی بوسان در آن نقطه است. دایره بوسان در یک نقطه از منحنی، دایره ای است که در آن نقطه با منحنی بیشترین تماس را دارد. توجه شود که برای خط راست شعاع دایره بوسان آن در هر نقطه واقع بر آن بینهایت است.

برای تعیین انحنای یک سطح در یک نقطه، دو خط متقاطع مساحتی در دو جهت اصلی در آن نقطه انتخاب کرده و انحنای این دو خط را در آن نقاط تعیین می کنیم. فرض کنیم انحنای این دو خط
k۱=۱/R۱ and k۲=۱/R۲
باشند. آنگاه انحنای سطح در آن نقطه برابر است با حاصلضرب این دو انحنا، یعنی :
k=۱/R۱R۲
انحنای صفحه ی اقلیدسی صفر است. همچنین انحنای استوانه صفر است:
k=o
برای سطح هذلولوی همواره انحنای سطح منفی است :
k<>
برای سطح بیضوی همواره انحنا مثبت است :
k>o
نتیجه
شاید به نظر برسد که چون ریاضیات، برخلاف علوم طبیعی مثل فیزیک، نجوم و شیمی، با مشاهدات تجربی در تماس نیست؛ هیچ¬گاه با اعوجاج و بحران مواجه نخواهد شد؛ اما همان¬طور که دیدیم, اعوجاج در ریاضیات از نوع دیگری است؛ مثلاً تردید دربارة اصل بودن اصل توازی همچون اعوجاجی در هندسه آشکار شد و با مقاومت در برابر کوششهای ریاضیدانان جهت اثبات آن, جامعة ریاضیدانان را با بحران مواجه نمود.
اما نکته بسیار مهم این است که این اعوجاج و بحران در پی آن در بنیادیترین سطح هندسه به طرد هندسة اقلیدسی نیانجامید؛ بلکه به مدت بیش از دو هزار سال, تسلط خود را نه تنها بر هندسه, بلکه به علوم دیگر مثل نجوم، فیزیک و حتی فلسفه حفظ نمود. چرا؟ زیرا اگر هندسهدانان، هندسة اقلیدسی را به سبب اعوجاجی که در اصول بنیانیاش بود، رها میکردند، هیچ نظریة جانشینی نداشتند. در این صورت, تکلیف فعالیت پژوهشی آنها در هندسه چه می¬شد؟ همین تعلقات حرفهای سبب شد که هندسة اقلیدسی بیش از دو هزار سال تنها پارادایم حاکم در حوزة ریاضیات باشد. زمانی که بویوئی، گاوس و لباچفسکی هندسة جدید را مطرح کردند، نظریة رقیبی برای هندسة اقلیدسی ظاهر شده بود که میتوانست جانشین آن شود. همین، موجبات انقلاب نااقلیدسی را فراهم نمود. اما دیدیم که تغییر حمایت از پارادایم اقلیدسی به نااقلیدسی از جانب یکایک ریاضیدانان ناشی از برهانهای صرفاً منطقی دربارة سازگاری هندسی نااقلیدسی نبود؛ زیرا جامعة ریاضی قرن نوزدهم به مدت 26 سال از زمانی که لباچفسکی آن را منتشر کرد تا زمان مرگ گاوس از این برهانها آگاهی داشت, اما هیچ¬گاه آن را جدی نگرفت. آنچه سبب پذیرش هندسة نااقلیدسی شد, عاملی بود ورای استدلالهای ریاضی و آن اینکه شخصی همچون گاوس شهزادة ریاضیدانان, در نامههایش از آن طرفداری کرده بود. در واقع, ریاضیدانان نیز همچون "دانشمندان به دلایل گوناگون طرفدار پارادایم جدید میشوند و معمولاً در آن واحد بنابر وجود چند دلیل چنین میکنند. بعضی ازاین دلایل - مثلاً خورشیدپرستی که کپلر را یکی از کوپرنیکیان ساخت - کاملاً در خارج قلمرو آشکار علم قرار دارد. بعضی دیگر وابسته به مزاج شخص و زندگی¬نامه و شخصیت اوست - حتی ملیّت یا شهرت سابق شخص نوآور و استادان وی گاه میتواند نقش مؤثر ایفا کند" (kuhn;1970, pp.152,153). شهرت و اعتبار گاوس سبب شد که تعدادی از بهترین ریاضیدانان که مرجعیت جامعة ریاضی به عهدهشان بود، از هندسة نااقلیدسی حمایت کنند و این سبب پذیرش این هندسه شد. به قول چالمرز (A.F. Chalmers): "انقلاب علمی عبارت است از طرد یک پارادایم و قبول پارادایمی جدید، نه از سوی یک دانشمند به تنهایی؛ بلکه از سوی جامعة علمی مربوطه در تمامیت آن) " چالمرز، 1374، ص (117.
بنابراین آنچه توسط استقرارگرایان و ابطالگرایان به عنوان منطق اکتشافات علمی گفته میشود، باید به¬طور جدی مورد تجدیدنظر قرار گیرد؛ زیرا همان¬طور که دیدیم, عملکرد دانشمندان و حتی ریاضیدانان در رسیدن به نظریههای علمی جدید، رفتاری کاملاً بشری است که ما میتوانیم در حوزههای دیگر زندگی¬شان ببینیم. همان¬طور که هری کالینز (Harry Collins) و ترور پینچ (Trevor Pinch) دو جامعهشناس علم معاصر، میگویند: "آنچه پژوهشهای موضعی ما نشان میدهد, این است که هیچ منطق اکتشاف علمی وجود ندارد و یا بلکه اگر چنین منطقی وجود دارد، آن منطق، منطق زندگی روزمره است "





داغ کن - کلوب دات کام
نظرات() 


buy generic cialis
جمعه 16 آذر 1397 04:42 ق.ظ

Thank you! Ample stuff!

cialis kamagra levitra canadian discount cialis buy cialis cialis online napol cialis for bph generic low dose cialis cialis generico milano buy cialis cheap 10 mg only best offers cialis use online prescriptions cialis
Buy generic cialis
پنجشنبه 15 آذر 1397 09:24 ق.ظ

Nicely put. Cheers.
wow look it cialis mexico tarif cialis france cialis prezzo al pubblico cialis patentablauf in deutschland cialis per paypa cialis reviews if a woman takes a mans cialis cialis generique cialis wir preise precios de cialis generico
Online cialis
چهارشنبه 14 آذر 1397 01:40 ب.ظ

Nicely put, Thanks a lot.
comprar cialis navarr can i take cialis and ecstasy achat cialis en suisse cialis 20 mg cut in half cialis et insomni cheap cialis prezzo cialis a buon mercato buy original cialis free cialis cialis dose 30mg
buy generic cialis online
چهارشنبه 14 آذر 1397 02:13 ق.ظ

Good forum posts. With thanks!
we choice cialis uk price cialis wal mart pharmacy cialis pills boards cialis 5mg cialis 5mg billiger safe site to buy cialis online precios cialis peru cialis billig order generic cialis online purchase once a day cialis
buy cialis
سه شنبه 13 آذر 1397 03:12 ب.ظ

Awesome facts. Cheers!
cialis canadian drugs how to purchase cialis on line cialis italia gratis brand cialis nl cialis online nederland generic low dose cialis weblink price cialis bulk cialis cialis price thailand cialis generisches kanada
Cialis 20 mg
سه شنبه 13 آذر 1397 03:48 ق.ظ

Nicely put, Thank you.
walgreens price for cialis cialis dosage we use it cialis online store cialis taglich cialis daily reviews we recommend cialis info only now cialis for sale in us cialis prices bulk cialis only now cialis for sale in us
buy cialis online without a prescription
دوشنبه 12 آذر 1397 02:42 ب.ظ

Seriously lots of terrific data.
wow look it cialis mexico cialis 20mg prix en pharmacie cialis qualitat prescription doctor cialis cialis authentique suisse venta cialis en espaa cialis prezzo in linea basso cialis vs viagra cilas cialis pills in singapore
buy generic cialis online
دوشنبه 12 آذر 1397 03:31 ق.ظ

You suggested this fantastically.
price cialis best venta de cialis canada cialis coupon cialis 20 mg cost cilas walgreens price for cialis dosagem ideal cialis we choice cialis uk cialis for sale cialis tablets for sale
buy generic cialis
یکشنبه 11 آذر 1397 02:56 ب.ظ

Amazing loads of superb tips.
only best offers 100mg cialis when can i take another cialis prices for cialis 50mg generic low dose cialis recommended site cialis kanada cialis uk next day legalidad de comprar cialis cialis et insomni cialis dosage amounts cialis pills boards
buy cials online
یکشنبه 11 آذر 1397 03:14 ق.ظ

Seriously tons of fantastic tips!
cialis generico side effects for cialis viagra cialis levitra cialis authentique suisse cialis 10 doctissimo cialis price thailand buy cheap cialis in uk cialis soft tabs for sale tadalafil 10 mg viagra vs cialis
Buy cialis
شنبه 10 آذر 1397 03:32 ب.ظ

You reported that really well.
cialis super acti price cialis wal mart pharmacy cialis generico online cialis side effects acquistare cialis internet cialis baratos compran uk cialis dose 30mg chinese cialis 50 mg cialis kamagra levitra cialis without a doctor's prescription
Cialis prices
شنبه 10 آذر 1397 02:49 ق.ظ

Cheers, Plenty of advice.

we recommend cheapest cialis generic cialis review uk prezzo di cialis in bulgaria cialis reviews viagra cialis levitra safe dosage for cialis prices on cialis 10 mg get cheap cialis cialis therapie cialis efficacit
buy cheap cialis on line
جمعه 9 آذر 1397 03:30 ب.ظ

Regards, I like it!
cialis australian price generic cialis at the pharmacy cialis 20mg cialis dosage cialis kamagra levitra cialis venta a domicilio generic cialis with dapoxetine tadalafil generic cialis prezzo al pubblico cialis et insomni
buy cialis online
جمعه 9 آذر 1397 03:45 ق.ظ

Nicely put, Regards.
cialis 5 mg purchase once a day cialis click now cialis from canada american pharmacy cialis cialis cipla best buy cialis tablets cialis y deporte cialis 20 mg purchase once a day cialis cialis coupons
Cialis online
پنجشنبه 8 آذر 1397 04:23 ب.ظ

Kudos, I like it!
where cheapest cialis online prescriptions cialis cialis usa cost cialis coupons cialis professional yohimbe female cialis no prescription cialis cuantos mg hay canada discount drugs cialis we like it cialis soft gel cialis 30 day trial coupon
Cialis canada
پنجشنبه 8 آذر 1397 04:24 ق.ظ

Nicely put. Appreciate it.
cialis generic availability generic cialis at walmart wow cialis 20 estudios de cialis genricos cialis rckenschmerzen cialis baratos compran uk cuanto cuesta cialis yaho how to purchase cialis on line cialis pills price each cialis prices
Cialis online
چهارشنبه 7 آذر 1397 03:55 ب.ظ

Whoa many of terrific info.
cialis para que sirve cialis uk prix cialis once a da cialis online napol tesco price cialis tadalafil order generic cialis online achat cialis en suisse enter site 20 mg cialis cost cialis 10 doctissimo
Cialis online
چهارشنبه 7 آذر 1397 03:50 ق.ظ

Fine posts. Kudos.
cialis 5 mg funziona cipla cialis online cipla cialis online generic cialis 20mg uk prezzo cialis a buon mercato we recommend cheapest cialis cialis cipla best buy cialis 50 mg soft tab only here cialis pills cialis tadalafil
buy levitra 10mg
پنجشنبه 19 مهر 1397 11:18 ب.ظ

Amazing tons of useful info!
levitra 10 mg kopen buy levitra generic generic levitra levitra online vardenafil levitra buy generic levitra levitra without a doctor prescription vardenafil 20mg buy generic levitra
cialis
سه شنبه 10 مهر 1397 01:09 ب.ظ

You actually expressed this superbly.
cialis usa cost cialis 5 mg free cialis buy original cialis we choice cialis uk cialis generico lilly overnight cialis tadalafil cialis 20 mg best price wow cialis tadalafil 100mg acquisto online cialis
Cialis 20 mg
یکشنبه 8 مهر 1397 08:19 ق.ظ

Excellent data. Cheers!
wow look it cialis mexico cialis australian price 40 mg cialis what if i take opinioni cialis generico trusted tabled cialis softabs generico cialis mexico acheter cialis kamagra cialis rezeptfrei cialis for bph cost of cialis per pill
Buy cialis online
شنبه 7 مهر 1397 08:24 ق.ظ

Thanks a lot! I enjoy this!
generic cialis tadalafil cialis lowest price cialis kaufen bankberweisung price cialis per pill cialis side effects cialis rezeptfrei cialis preise schweiz we like it cialis soft gel cialis uk cialis kaufen wo
canada medications cheap
شنبه 31 شهریور 1397 09:56 ب.ظ

Appreciate it. A good amount of facts!

canadian pharcharmy online24 canadianpharmacyusa24h canada online pharmacies medication viagra canadiense canada medication canadian drugs canadian cialis canadian government approved pharmacies northwest pharmacies mail order canadian mail order pharmacies
http://viagravonline.com/
چهارشنبه 28 شهریور 1397 10:59 ب.ظ

You actually expressed it exceptionally well.
cipla cialis online cialis generique 5 mg dosagem ideal cialis i recommend cialis generico cilas cialis en mexico precio compare prices cialis uk free generic cialis buy cialis sample pack generic for cialis
cialisvbuy.com
سه شنبه 27 شهریور 1397 07:55 ب.ظ

Thank you. Numerous knowledge.

cialis herbs cialis rckenschmerzen cost of cialis per pill cialis en mexico precio cialis dosage pastillas cialis y alcoho cialis generisches kanada brand cialis generic how to purchase cialis on line generic for cialis
viagraessale.com
پنجشنبه 15 شهریور 1397 09:40 ق.ظ

With thanks! A lot of info!

cialis super kamagra cialis 5 effetti collaterali cialis super acti online cialis cialis wir preise tadalafil generic tadalafilo cialis cipla best buy cialis authentique suisse cialis generico online
online pharmacies legitimate
چهارشنبه 14 شهریور 1397 01:28 ق.ظ

Thanks a lot! Numerous advice!

pharmacy canada plus best canadian pharmacy order canadian prescriptions online trust pharmacy canada reviews drugs for sale in uk northwestpharmacy canadian online pharmacies online pharmacy canada canadian pharmacies online prescriptions most reliable canadian pharmacies
buy cheap viagra online next day delivery
سه شنبه 13 شهریور 1397 07:12 ق.ظ

Useful info. Regards.
order viagra uk where can i buy viagra online buy viagra europe buying online viagra viagra cheap viagra online uk safest place to buy viagra buy tadalafil cheap viagra buy viagra online discount
Cialis prices
دوشنبه 12 شهریور 1397 11:18 ب.ظ

Wonderful forum posts. Thank you.
we recommend cialis best buy cialis canadian drugs cialis lilly tadalafi cialis generico postepay we like it cialis price cialis soft tabs for sale cialis prices in england buying cialis overnight venta de cialis canada cialis manufacturer coupon
http://cialisky.com/
دوشنبه 12 شهریور 1397 05:35 ق.ظ

Thanks, Fantastic information.
try it no rx cialis pastillas cialis y alcoho tadalafilo trusted tabled cialis softabs cialis baratos compran uk cialis pills cialis australia org cialis coupons cialis alternative opinioni cialis generico
 
لبخندناراحتچشمک
نیشخندبغلسوال
قلبخجالتزبان
ماچتعجبعصبانی
عینکشیطانگریه
خندهقهقههخداحافظ
سبزقهرهورا
دستگلتفکر


نمایش نظرات 1 تا 30